点规范练25平面向量基本定理及向量的坐标表示一、基础巩固1.向量a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案B解析由题意知,A选项中e1=0,C,D选项中两个向量均共线,都不符合基底条件,故选B.2.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ=()A.2B.4C.12D.14答案B解析以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1),则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1).所以a=⃗AO=(-1,1),b=⃗OB=(6,2),c=⃗BC=(-1,-3). c=λa+μb,∴(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),∴{-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3,解得{λ=-2,μ=-12,∴λμ=4.3.已知平面向量a=(1,-2),b=(2,m),且a∥b,则3a+2b=()A.(7,2)B.(7,-14)C.(7,-4)D.(7,-8)答案B解析因为a∥b,所以m+4=0,所以m=-4.所以b=(2,-4).所以3a+2b=(7,-14).4.在▱ABCD中,⃗AD=(2,8),⃗AB=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则⃗AM=()A.(-12,-6)B.(-12,6)C.(12,-6)D.(12,6)答案B解析因为在▱ABCD中,有⃗AC=⃗AB+⃗AD,⃗AM=12⃗AC,所以⃗AM=12¿)=12(-1,12)=(-12,6),故选B.5.在△ABC中,点P在BC上,且⃗BP=2⃗PC,点Q是AC的中点.若⃗PA=(4,3),⃗PQ=(1,5),则⃗BC等于()A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)答案B解析如图,⃗BC=3⃗PC=3(2⃗PQ−⃗PA)=6⃗PQ-3⃗PA=(6,30)-(12,9)=(-6,21).6.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)答案D解析因为平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),所以a,b一定不共线,所以3m-2-2m≠0,解得m≠2,所以m的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞),故选D.7.若平面内两个向量a=(2cosθ,1)与b=(1,cosθ)共线,则cos2θ等于()A.12B.1C.-1D.0答案D解析由向量a=(2cosθ,1)与b=(1,cosθ)共线,知2cosθ·cosθ-1×1=0,所以2cos2θ-1=0,所以cos2θ=0,故选D.8.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面第一象限内一点,且∠AOC=π4,且|OC|=2.若⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB,则λ+μ=()A.2❑√2B.❑√2C.2D.4❑√2答案A解析因为|OC|=2,∠AOC=π4,C为坐标平面第一象限内一点,所以C(❑√2,❑√2).又因为⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB,所以(❑√2,❑√2)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ).所以λ=μ=❑√2,所以λ+μ=2❑√2.9.已知平面内有三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),且⃗AB∥⃗AC,则x的值为.答案1解析由题意,得⃗AB=(3,6),⃗AC=(x,2). ⃗AB∥⃗AC,∴6x-6=0,解得x=1.10.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.答案(-1,1)或(-3,1)解析由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或a+b=(-1,0),则a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).11.如图,在▱ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点.已知⃗AM=c,⃗AN=d,则⃗AB=,⃗AD=.(用c,d表示)答案23(2d-c)23(2c-d)解析设⃗AB=a,⃗AD=b.因为M,N分别为DC,BC的中点,所以⃗BN=12b,⃗DM=12a.又{c=b+12a,d=a+12b,所以{a=23(2d-c),b=23(2c-d),即⃗AB=23(2d-c),⃗AD=23(2c-d).二、能力提升12.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且⃗BC=3⃗CD,点O在线段CD上(与点C,D不重合).若⃗AO=x⃗AB+(1-x)⃗AC,则x的取值范围是()A.(0,12)B.(0,13)C.(-12,0)D.(-13,0)答案D解析依题意,设⃗BO=λ⃗BC,其中1<λ<43,则⃗AO=⃗AB+⃗BO=⃗AB+λ⃗BC=⃗AB+λ(⃗AC−⃗AB)=(1-λ)⃗AB+λ⃗AC.又⃗AO=x⃗AB+(1-x)⃗AC,且⃗AB,⃗AC不共线,于是有x=1-λ∈(-13,0),即x的取值范围是(-13,0).13.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为()A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)答案D解析 a在基底p,q下的坐标为(-2,2),∴a=-2p+2q=(2,4).令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),则{-x+y=2,x+2y=4,解得{x=0,y=2.14.如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,⃗OP=x⃗OA+y⃗OB,且⃗BP=2⃗PA,则()A.x=23,y=13B.x=13,y=23C.x=14,y=34D.x=34,y=14答案A解析由题意知⃗OP=⃗OB+⃗BP,又⃗BP=2⃗PA,...
