2016年湖南省永州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．复数z=i（﹣1+3i）在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知=（1，2），=（﹣1，m），若∥，则m=（）A．﹣B．C．﹣2D．23．函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）4．如图给出了一个程序框图，其作用是输入实数x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个5．已知直线l1：x+ay﹣2=0，l2：x﹣ay﹣1=0，则“a=﹣1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．若实数x，y满足，则x﹣y的最小值等于（）A．﹣2B．0C．2D．37．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植1棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则植树所需要的最少天数为（）A．5B．6C．7D．88．用一个与球心距离为1的平面去截球，所得截面的面积为π，则球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π9．已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，其一条渐近线的斜率等于，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=110．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+411．若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log23），b=f（﹣1），c=f（2），则a，b，c满足（）A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a12．已知圆C的方程为x2+y2﹣2x﹣4y﹣1=0，直线l：ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0），若直线l始终平分圆C，则ab的最大值为（）A．B．C．1D．2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合U={0，1，2}，A={x|x2=x，x∈R}，则∁UA=．14．已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+2，则a16=．15．在平面直角坐标系中，角α的终边过点P（1，2），则cos2α+sin2α的值为．16．对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），解关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0”，给出如下一种解法：由ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），得a（﹣x）2+b（﹣x）+c＞0的解集为（﹣2，1），即关于x的不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为（﹣2，1）．参考上述解法，若关于x的不等式+＜0的解集为（﹣2，﹣）∪（，1），则关于x的不等式+＜0的解集为．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，在平面直角坐标系xOy中，∠CAB=60°，AC=2，BC=．（1）求△ABC的面积；（2）如图所示，若函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象经过A、C、B三点，求ω和φ的值．18．某电视台为调查市民对本台某节目的喜爱是否与年龄有关，随机抽取了100名市民，其中是否喜欢该节目的人数如图所示：喜欢不喜欢合计10岁至30岁ab30岁至50岁cd合计（1）写出列表中a，b，c，d的值；（2）判断是否有99%的把握认为喜欢该节目与年龄有关，说明你的理由；（3）现计划在这次调查中按年龄段用分层抽样的方法选取5名市民，并从中抽取2名幸运市民，求2名幸运市民中至少有一人在30﹣50岁之间的概率．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，BC=3，AB=B1C=5，点D是线段AB的中点，四边形ACC1A1为正方形．（1）求证：AC1∥平面B1CD；（2）求三棱锥D﹣B1C1C的体积．20．已知函数f（x）=（1﹣a2）lnx﹣x3．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）设函数g（x）=ex﹣﹣2（e为自然对数的底数），k为函数f（x）在x=1处切线的斜率，若g（x）﹣k＞0在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围．21．已知△ABC的顶点A、B的坐标分别为（﹣，0）、（，0），C为动点，且满足sinB+sinA=sinC．（1）求点C的轨迹L的方程；（2）设M（x0，y0）是曲线L上的任一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=2作两条切线，分别交曲线L于点P、Q．①若直线OP、OQ的斜率均存在，并记...
