【优化探究】2017届高考数学一轮复习第七章第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图课时作业理新人教A版A组考点能力演练1.如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′C′＝A′B′，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形解析：由题图知A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，由斜二测画法知，在△ABC中，AC∥y轴，AB∥x轴，∴AC⊥AB.又因为A′C′＝A′B′，∴AC＝2AB≠AB，∴△ABC是直角三角形．B项正确．答案：B2．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为()A．8B．4C．4D．4解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．因此，侧视图是一个长为4，宽为的矩形，其面积S＝×4＝4.答案：B3．(2016·武昌调研)已知以下三视图中有三个同时表示某个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是()解析：易知该三棱锥的底面是直角边分别为1和2的直角三角形，注意到侧视图是从左往右看得到的图形，结合B、D选项知，D选项中侧视图、俯视图方向错误，故选D.答案：D4．若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：观察三视图，可得直观图如图所示．该三棱锥ABCD的底面BCD是直角三角形，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，侧面ABC，ABD是直角三角形，由CD⊥BC，CD⊥AB，知CD⊥平面ABC，CD⊥AC，侧面ACD也是直角三角形，故选D.答案：D5．(2016·长沙模拟)某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A．①③B．①③④C．①②③D．①②③④解析：若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，故选A.答案：A6．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．解析：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCDA1B1C1D1中的四面体ACB1D1；②错误，反例如图所示，底面△ABC为等边三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面．答案：①7.如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是边长为a的正三角形，则△ABC的面积为________．解析：如图所示，△A′B′C′是边长为a的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′，则C′，D′到x′轴的距离为a. ∠D′A′B′＝45°，∴A′D′＝a，由斜二测画法的法则知，在△ABC中，AB＝A′B′＝a，AB边上的高是A′D′的二倍，即为a，∴S△ABC＝a·a＝a2.答案：a28．(2016·武邑一模)某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为________．解析：本题构造长方体，体对角线长为，其在侧视图中为侧面对角线a，在俯视图中为底面对角线b，设长方体底面宽为1，则b2－1＋a2－1＝6，即a2＋b2＝8，利用不等式2≤＝4，则a＋b≤4.答案：49．已知正四棱锥的高为，侧棱长为，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)．解：如图所示，正四棱锥S－ABCD中，高OS＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，在Rt△SOA中，OA＝＝2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高，在Rt△SOE中， OE＝BC＝，SO＝，∴SE＝，即棱锥的斜高为.10.如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6cm的正方形，如图，其面积为36cm2.(2)由侧视图可求得PD＝＝＝6.由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA...
