第8节空间角考试要求1.能用几何方法解决空间角问题；2.了解向量方法在研究立体几何空间角问题中的应用.知识梳理1.求异面直线所成的角(1)(几何法)通过作平行线化为三角形求解.(2)(向量法)设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围(0，π)求法cosβ＝cosθ＝|cosβ|＝2.求直线与平面所成的角(1)(几何法)通过直线在平面上的射影求解，其步骤为“一作、二证、三计算”.(2)(向量法)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝.3.求二面角的大小(1)(几何法)通过一个面的垂线或垂面先作出二面角的平面角，然后加以证明和计算.(2)(向量法)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB，CD〉.如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).[常用结论与易错提醒]1.异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.2.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|.3.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察出向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.4.最小角定理：平面的一条斜线与平面内所有直线的夹角中，斜线与它在平面内的射影的夹角最小.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π].()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(选修2－1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°解析cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.答案C3.(2020·河北、山西、河南三省联考)在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为等边三角形，且二面角P－BC－A的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析如图，取BC的中点O，连接OP，OA，因为△ABC和△PBC均为等边三角形，所以AO⊥BC，PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，即平面PAO⊥平面ABC.且∠POA就是其二面角P－BC－A的平面角，即∠POA＝120°，建立空间直角坐标系如图所示.设AB＝2，则A(，0，0)，C(0，－1，0)，B(0，1，0)，P，所以AC＝(－，－1，0)，PB＝，cos〈AC，PB〉＝－，所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为.答案A4.如图，把边长为4的正三角形ABC沿中线AD折起，使得二面角C－AD－E的大小为60°，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为()A.－B.C.－D.解析如图，取AB的中点F，连接DF，EF，因为D，F分别是线段BC，AB的中点，所以DF∥AC，所以∠EDF(或其补角)是异面直线AC与DE所成的角.由正三角形的性质可得AD⊥BC，所以∠CDE就是二面角C－AD－E的平面角，所以∠CDE＝60°.又CD＝DE，所以△CDE是正三角形.作EG⊥CD，垂足为G，作FH⊥BD，垂足为H，连接EH，易知EG＝DEsin60°＝2×＝，DG＝DEcos60°＝2×＝1，DH＝BD＝×2＝1，HG＝DH＋DG＝2，FH＝AD＝×AC＝××4＝.由勾股定理得EH＝＝＝，EF＝＝＝.在△EDF中，由余弦定理得cos∠EDF＝＝－，所以异面直线AC与DE所成角的余弦值为，故选B.答案B5.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________.解析设l与α所成角为θ， cos〈m，n〉＝－，∴sinθ＝|cos〈m，n〉|＝， 0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.答案30°6.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________.解析如图，建立空...
