江苏省南京一中等五校联考2015届高考数学四模试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．（5分）已知集合M={x|x＜1}，N={x|lg（2x+1）＞0}，则M∩N=．2．（5分）若复数是纯虚数，则实数a的值为．3．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，2014-2015学年高一年级有30名，2014-2015学年高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在2014-2015学年高一年级的学生中抽取了6名，则在2014-2015学年高二年级的学生中应抽取的人数为．4．（5分）执行如图的流程图，得到的结果是．5．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为．6．（5分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概率为．7．（5分）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于．8．（5分）直线l过点（﹣1，0），且与直线3x+y﹣1=0垂直，直线l与圆C：（x﹣2）2+y2=1交于M、N两点，则MN=．9．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是．10．（5分）函数y=sinα（sinα﹣cosα）（α∈[﹣，0]）的最大值为．111．（5分）已知△ABC是等边三角形，有一点D满足+=，且||=，那么•=．12．（5分）已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=f（），当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[，3]内，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是．14．（5分）各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的数列至多有项．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），其图象经过点M（，），且与x轴两个相邻的交点的距离为π．（1）求f（x）的解析式；（2）在△ABC中，a=13，f（A）=，f（B）=，求△ABC的面积．16．（14分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．17．（15分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，F1、F2为椭圆左、右焦点，点B为下顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（x0，y0）是椭圆C上第一象限的点．①若M为线段BF1上一点，且满足=•，求直线OP的斜率；2②设点O到直线PF1、PF2的距离分别为d1、d2，求证：+为定值，并求出该定值．18．（15分）如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求⊙P的半径（用θ表示）；（2）求⊙Q的半径的最大值．19．（16分）已知a为实数，函数f（x）=a•lnx+x2﹣4x．（1）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=2alnx+x2﹣5x﹣，若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．20．（16分）已知两个无穷数列{an}，{bn}分别满足|an+1﹣an|=2，b=4b，且a1=1，b1=﹣1．（1）若数列{an}，{bn}都为递增数列，求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若数列{cn}满足：存在唯一的正整数r（r∈N*），使得cr+1＜cr，称数列{cn}为“梦r数列”；设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，①若数列{an}为“梦5数列”，求Sn；②若{an}为“梦r1数列”，{bn}为“梦r2数列”，是否存在正整数m，使得Sm+1=Tm，若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由．【选做题】请考生在四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．【选修4-1几何证明选讲】321．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．证明：AD•DE=2PB2．【选修4-2矩阵与变换】22．（10分）已知矩阵A=（1）求A﹣1；（2）满足AX=A﹣1二阶...
