【优化探究】2016高考数学一轮复习6-5合情推理与演绎推理课时作业文一、选择题1．(2015年桂林模拟)已知数列{an}的前n项和Sn，则a1＝1，Sn＝n2an，试归纳猜想出Sn的表达式为()A．Sn＝B．Sn＝C．Sn＝D．Sn＝解析：Sn＝n2an＝n2(Sn－Sn－1)，∴Sn＝Sn－1，S1＝a1＝1，则S2＝，S3＝＝，S4＝.∴猜想得Sn＝，故选A.答案：A2．(2015年南昌模拟)为了保证信息安全传播，有一种称为加密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：明文――→密文――→密文――→明文现在加密密钥为y＝loga(x＋2)，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到明文为()A．12B．13C．14D．15解析： loga(6＋2)＝3，∴a＝2，则y＝log2(x＋2)，若4＝log2(x＋2)，则x＝14，故选C.答案：C3．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为()A．76B．80C．86D．92解析：由已知条件知|x|＋|y|＝n的不同整数解(x，y)的个数为4n，∴|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为4×20＝80.答案：B4.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于()A.B.C.－1D.＋1解析：根据“黄金椭圆”的性质是FB⊥AB，可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质，设“黄金双曲线”方程为－＝1，则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．在“黄金双曲线”中， FB⊥AB，∴FB·AB＝0.又FB＝(c，b)，AB＝(－a，b)．∴b2＝ac.而b2＝c2－a2，∴c2－a2＝ac.在等号两边同除以a2得e＝，故选A.1答案：A5．(2014年西安五校联考)观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59＝1953125，…，则52013的末四位数字为()A．3125B．5625C．0625D．8125解析：由题意知5n(n∈N*，有n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈N*，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2013)＝f(502×4＋5)＝f(5)，∴52013与55的末四位数字相同，均为3125.故选A.答案：A二、填空题6．(2015年佛山质检)观察下列不等式：则第5个不等式为________．①<1；②＋<；③＋＋<.解析：①<；②＋<；③＋＋<；⑤＋＋＋＋<.答案：＋＋＋＋<7．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6，(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a－t＝________.解析：类比等式可推测a＝6，t＝35，则a－t＝－29.答案：－298．观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，……照此规律，第n个等式可为________．解析：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)三、解答题9．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解析：解法一(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.2(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝s...
