广东省始兴县风度中学高三数学 课外培优练习5VIP免费

数学课外培优练习51如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC=60°.（I）求侧棱AA1与平面AB1C所成角的大小；（II）已知点D满足BCBABD，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.12．如图（1）在直角梯形ABCP中，BC∥,,,APCDBCABAPPDDCAD=2，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，现将PDC沿CD折起，使平面PDC平面ABCD（如图2）（1）求二面角DEFG的大小；（2）在线段PB上确定一点Q，使PC平面ADQ，并给出证明过程.2（II）BCBABD，而BA=（－3，1，0），BC=（－3，1，0）.BD=（－23，0，0）.又∵B（3，0，0），∴点D的坐标为D（－3，0，0）.……………………1分假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y，z）.),,3(zyBD.∵DP∥平面AB1C，n=（－1，0，1）为平面AB1C的法向量，3,.0,331,),3,1,0(),3,1,0(,.3,0031111CABDPyyAAAPAAyAPAAPzznAP平面又得由上在直线点又得由故存在点P，使DP∥平面AB1C，其坐标为（0，0，3），即恰好为A1点.………4分2.取AD的中点H,连HG、HF，EFDCPD,∥DC，,EFDF又平面PDC平面ABCD，且DCHD，HD平面PDC，又EF平面PDC，由三垂线定理，得EFHF，DFH就是二面角DEFG的平面角.在HDFRT中，,121,121ADDHPDDF45DFH，即二面角DEFG的大小为45.(2)PBQ是线段当点的中点时，有PC平面ADQ.证明过程如下:E为PC的中点,EQ∥BC,又AD∥BC,EQ∥AD,从而A、D、E、Q四点共面．在PDCRt中，EDCPD,为PC的中点，DEPC，又PD平面ABCD，CDAD，PCAD，又DDEAD，PC平面ADEQ，即PC平面ADQ.解法二:(1)建立如图所示的空间直角坐标系4则),2,0,0(),0,2,0(),0,2,2(),0,0,2(PCBA).0,2,1(),1,0,0(),1,1,0(GFE设平面GEF的法向量为),,(zyxn,则00zyxEGnyEFn,取).1,0,1(n又平面EFD的法向量为),0,0,1(m所以,21||||,cosnmnmnm,45,nm即二面角DEFG的大小为45.(2)设),10(PBPQ则).22,2,22(PQAPAQ,210)22(2220PCAQPCAQ又PCAD,PC平面ADQ21点Q是线段PB的中点.5