华东师大三附中高三期中考试数学试卷2008.4（时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题,要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分．1．已知集合，集合，若，则实数=2．若函数的反函数图像经过点，则3．若是实系数方程的一个根，则实数=4．函数的最小正周期是5．若，则=6．方程的解是7．函数的值域为8．函数为奇函数，则＝9．已知不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是10．函数的图像与直线有且只有两个不同的交点，则的取值范围11．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于12．设函数，给出下述命题：①有最小值；②当时，的值域为R;③当时，在区间上有反函数；④若在区间上单调递增，则实数的取值范围是.则其中正确的命题是②③（要求：把正确的命题序号都填上）二、选择题（本大题满分16分,每小题4分）13.若，则下列不等式中，正确的是……………………………………(D)A.B.C.D.14.设，且，则………………………………(C)A.B.C.D.115.下列函数：①②；③；④在上是递增函数的是…………………………………………………………………………………(D)A.①②B.②④C.③④D.②③④16.已知，有不等式，…启发我们可以推广为：，则的值为……………………………………………(A)A.B.C.D.三．解答题(本大题满分86分)17.（12分）记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（1）若，求；（2）若，求正数的取值范围．解：（1）由，得．4’（2）．8’由，得，又，所以，即的取值范围是．12’18.（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求B的大小；（2）若，，求b．解：（1）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得．6’（2）根据余弦定理，得．所以，．12’19．（14分）已知复数，若存在实数，使成立.（1）求的值；（2）求的取值范围.2解：（1）6’(2),当且仅当时等号成立，14’20．（14分）研究函数的基本性质.解：答案中提到的均为（1）当时，为奇函数；当时为偶函数；当且时函数为非奇非偶函数.4’(2)函数在上是增函数，在上是减函数.6’(3)当时，；当，.函数值域为[-A,A]8’(4)函数具有周期性，周期10’(5)函数具有对称性，对称中心为，对称轴是14’21.（16分）已知函数.（1）求的解析式；（2）若，求当时，的最小值；（3）若时，恒有，求实数的取值范围.3解：（1）令（2）6’8当且仅当即时等号成立.,即的最小值为10’(3),12’在恒成立.令，当时取得最大值-3,16’22.(18分)已知集合M是满足下列性质的函数的全体：若存在非零常数，对任意，等式恒成立.（1）判断一次函数是否属于集合M；（2）证明属于集合M，并找到一个常数；（3）已知函数与的图像有公共点，试证明.解：(1)若，则存在非零常数，对任意均有，即恒成立，得无解，6’(2),则时等式恒成立，412’(3)与有交点，由图像知，与必有交点.设，则，18’5
