第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例1.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()A.1B.2C.3D.5解析:A[由已知得|a+b|2=10,|a-b|2=6,两式相减,得a·b=1.]2.(2019·玉溪市一模)已知a与b的夹角为,a=(1,1),|b|=1,则b在a方向上的投影为()A.B.C.D.解析:C[根据题意,a与b的夹角为,且|b|=1,则b在a方向上的投影|b|cos=.]3.已知D是△ABC所在平面内一点,且满足(BC-CA)·(BD-AD)=0,则△ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:A[(BC-CA)·(BD-AD)=(BC-CA)·BA=0,所以BC·BA=CA·BA,设BC=a,AC=b,所以acosB=bcosA,利用余弦定理化简得a2=b2,即a=b,所以△ABC是等腰三角形.]4.(2019·重庆市模拟)如图,在圆C中,弦AB的长为4,则AB·AC=()A.8B.-8C.4D.-4解析:A[如图所示,在圆C中,过点C作CD⊥AB于D,则D为AB的中点;在Rt△ACD中,AD=AB=2,可得cosA==,∴AB·AC=|AB|×|AC|×cosA=4×|AC|×=8.故选A.]5.已知正方形ABCD的边长为2,点F是AB的中点,点E是对角线AC上的动点,则DE·FC的最大值为()A.1B.2C.3D.4解析:B[以A为坐标原点,AB、AD方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),则F(1,0),C(2,2),D(0,2),设E(λ,λ)(0≤λ≤2),则DE=(λ,λ-2),FC=(1,2),所以DE·FC=3λ-4≤2.所以DE·FC的最大值为2.故选B.]6.(2019·珠海市模拟)设向量a=(1,3m),b=(2,-m),满足(a+b)·(a-b)=0,则m=________.解析:向量a=(1,3m),b=(2,-m),则a+b=(3,2m),a-b=(-1,4m),由(a+b)·(a-b)=0,得-3+8m2=0,解得m=±.答案:±7.(2019·内江市一模)已知正方形ABCD的边长为2,则AB·(AC+AD)=________.解析:如图所示,正方形ABCD的边长为2,AB·(AC+AD)=AB·(AB+2AD)=AB2+2AB·AD=4.答案:48.(2019·吕梁市一模)已知a=(1,λ),b=(2,1),若向量2ab与c=(8,6)共线,则a在b方向上的投影为______.解析:2a+b=(4,2λ+1),∵2a+b与c=(8,6)共线,∴2λ+1=3,即λ=1.∴a·b=2+λ=3,∴a在b方向上的投影为|a|·cos〈a,b〉===答案:9.已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)设c=4a+b,求(b·c)a;(2)若a+λb与a垂直,求λ的值;(3)求向量a在b方向上的投影.解:(1)∵a=(1,2),b=(2,-2),∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6).∴b·c=2×6-2×6=0,∴(b·c)a=0·a=0.(2)a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ),由于a+λb与a垂直,∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ=.∴λ的值为.(3)设向量a与b的夹角为θ,向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.∴|a|cosθ===-=-.10.已知如图,△ABC中,AD是BC边的中线,∠BAC=120°,且AB·AC=-.(1)求△ABC的面积;(2)若AB=5,求AD的长.解:(1)∵AB·AC=-,∴|AB|·|AC|·cos∠BAC=-|AB|·|AC|=-,即|AB|·|AC|=15,∴S△ABC=|AB|·|AC|sin∠BAC=×15×=.(2)法一:由AB=5得AC=3,延长AD到E,使AD=DE,连接BE.∵BD=DC,∴四边形ABEC为平行四边形,∴∠ABE=60°,且BE=AC=3.设AD=x,则AE=2x,在△ABE中,由余弦定理得:(2x)2=AB2+BE2-2AB·BEcos∠ABE=25+9-15=19,解得x=,即AD的长为.法二:由AB=5得AC=3,在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=25+9+15=49,得BC=7.由正弦定理得=,得sin∠ACD===.∵0°<∠ACD<90°∴cos∠ACD==.在△ADC中,AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos∠ACD=9+-2×3××=,解得AD=.法三:由AB=5得AC=3,在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=25+9+15=49,得BC=7.在△ABC中,cos∠ACB===.在△ADC中,由AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos∠ACD=9+-2×3××=.解得AD=.