第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5解析：A[由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得a·b＝1.]2．(2019·玉溪市一模)已知a与b的夹角为，a＝(1,1)，|b|＝1，则b在a方向上的投影为()A.B.C.D.解析：C[根据题意，a与b的夹角为，且|b|＝1，则b在a方向上的投影|b|cos＝.]3．已知D是△ABC所在平面内一点，且满足(BC－CA)·(BD－AD)＝0，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：A[(BC－CA)·(BD－AD)＝(BC－CA)·BA＝0，所以BC·BA＝CA·BA，设BC＝a，AC＝b，所以acosB＝bcosA，利用余弦定理化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．]4．(2019·重庆市模拟)如图，在圆C中，弦AB的长为4，则AB·AC＝()A．8B．－8C．4D．－4解析：A[如图所示，在圆C中，过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点；在Rt△ACD中，AD＝AB＝2，可得cosA＝＝，∴AB·AC＝|AB|×|AC|×cosA＝4×|AC|×＝8.故选A.]5．已知正方形ABCD的边长为2，点F是AB的中点，点E是对角线AC上的动点，则DE·FC的最大值为()A．1B．2C．3D．4解析：B[以A为坐标原点，AB、AD方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F(1,0)，C(2,2)，D(0,2)，设E(λ，λ)(0≤λ≤2)，则DE＝(λ，λ－2)，FC＝(1,2)，所以DE·FC＝3λ－4≤2.所以DE·FC的最大值为2.故选B.]6．(2019·珠海市模拟)设向量a＝(1,3m)，b＝(2，－m)，满足(a＋b)·(a－b)＝0，则m＝________.解析：向量a＝(1,3m)，b＝(2，－m)，则a＋b＝(3,2m)，a－b＝(－1,4m)，由(a＋b)·(a－b)＝0，得－3＋8m2＝0，解得m＝±.答案：±7．(2019·内江市一模)已知正方形ABCD的边长为2，则AB·(AC＋AD)＝________.解析：如图所示，正方形ABCD的边长为2，AB·(AC＋AD)＝AB·(AB＋2AD)＝AB2＋2AB·AD＝4.答案：48．(2019·吕梁市一模)已知a＝(1，λ)，b＝(2,1)，若向量2ab与c＝(8,6)共线，则a在b方向上的投影为______．解析：2a＋b＝(4,2λ＋1)，∵2a＋b与c＝(8,6)共线，∴2λ＋1＝3，即λ＝1.∴a·b＝2＋λ＝3，∴a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝＝＝答案：9．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0·a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.∴λ的值为.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.∴|a|cosθ＝＝＝－＝－.10．已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC＝120°，且AB·AC＝－.(1)求△ABC的面积；(2)若AB＝5，求AD的长．解：(1)∵AB·AC＝－，∴|AB|·|AC|·cos∠BAC＝－|AB|·|AC|＝－，即|AB|·|AC|＝15，∴S△ABC＝|AB|·|AC|sin∠BAC＝×15×＝.(2)法一：由AB＝5得AC＝3，延长AD到E，使AD＝DE，连接BE.∵BD＝DC,∴四边形ABEC为平行四边形，∴∠ABE＝60°，且BE＝AC＝3.设AD＝x，则AE＝2x，在△ABE中，由余弦定理得：(2x)2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos∠ABE＝25＋9－15＝19，解得x＝，即AD的长为.法二：由AB＝5得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝25＋9＋15＝49，得BC＝7.由正弦定理得＝，得sin∠ACD＝＝＝.∵0°<∠ACD<90°∴cos∠ACD＝＝.在△ADC中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD＝9＋－2×3××＝，解得AD＝.法三：由AB＝5得AC＝3，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝25＋9＋15＝49,得BC＝7.在△ABC中，cos∠ACB＝＝＝.在△ADC中，由AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD＝9＋－2×3××＝.解得AD＝.
