第11讲圆锥曲线的基本问题1.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研(二))在平面直角坐标系xOy中,点P(2,4)到抛物线y2=8x的准线的距离为.2.(2018南通高三第二次调研)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C与双曲线x2-y23=1有公共的渐近线,且经过点P(-2,❑√3),则双曲线C的焦距为.3.(2018南京高三第三次模拟)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a,则该双曲线的离心率为.4.(2018徐州高三考前模拟)若双曲线x2a2-y24a-2=1的离心率为❑√3,则实数a的值为.5.(2018扬州高三第三次调研)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线x212-y2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为2,则该双曲线的离心率为.6.(2018扬州中学高三第四次模拟)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为❑√10,则双曲线C的渐近线方程为.7.(2018高考数学模拟(1))若双曲线x2a-y23=1的焦距等于4,则它的两准线之间的距离等于.8.(2018高考数学模拟(2))在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2-y23=1的左准线为l,则以l为准线的抛物线的标准方程是.9.(2018徐州铜山高三第三次模拟)若直线y=x+2与双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线平行,则双曲线的离心率为.10.(2018扬州中学高三第四次模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,直线AF与直线x+y-3❑√2=0垂直,垂足为B,且点A是线段BF的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)若M,N分别为椭圆C的左、右顶点,P是椭圆C上位于第一象限的一点,直线MP与直线x=4交于点Q,且⃗MP·⃗NQ=9,求点P的坐标.11.(2017江苏海门检测)如图,F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的上顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.(1)求椭圆C的离心率;(2)已知△AF1B的面积为40❑√3,求a,b的值.答案精解精析1.答案4解析抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,则点P到抛物线准线的距离是4.2.答案4❑√3解析由题意,可设双曲线C的方程为x2-y23=λ,λ≠0,代入点P的坐标,解得λ=3,则C的标准方程是x23-y29=1,所以a2=3,b2=9,c2=12,c=2❑√3.故C的焦距2c=4❑√3.3.答案❑√5解析由双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2a,得b=2a.故该双曲线的离心率e=ca=❑√1+(ba)2=❑√5.4.答案1解析双曲线x2a2-y24a-2=1的离心率为❑√3,则4a-2>0,a2+4a-2a2=3,解得a=1.5.答案2❑√33解析由双曲线的焦点到渐近线的距离为2,得b=2.又a2=12,则c2=a2+b2=16,c=4.故该双曲线的离心率e=ca=42❑√3=2❑√33.6.答案y=±3x解析由双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为❑√10,得c=❑√10a.所以c2=a2+b2=10a2,b=3a.所以双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±3x.7.答案1解析双曲线x2a-y23=1的焦距等于4,则2c=4,c=2.所以a=4-3=1.故它的两准线之间的距离等于2×12c=1.8.答案y2=2x解析在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2-y23=1的左准线为l:x=-12,则以l为准线的抛物线的标准方程是y2=2x.9.答案❑√2解析由直线y=x+2与双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线平行,得ba=1,故双曲线的离心率e=ca=❑√1+(ba)2=❑√2.10.解析(1)由直线AF与直线x+y-3❑√2=0垂直,垂足为B,且点A是线段BF的中点,得b=c,B(c,2b)在直线x+y-3❑√2=0上,所以c+2b=3❑√2.解得b=c=❑√2,a=2.故椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)设直线MP的方程为y=k(x+2)(k>0).由{x24+y22=1,y=k(x+2),得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0.因为xM=-2,所以xP=2-4k21+2k2.所以P(2-4k21+2k2,4k1+2k2).又Q(4,6k),所以⃗MP=(41+2k2,4k1+2k2),⃗NQ=(2,6k).所以⃗MP·⃗NQ=24k2+81+2k2=9.解得k2=16,故k=❑√66.所以P(1,❑√62).11.解析(1)由题意可知,△AF1F2为等边三角形,所以a=2c.所以e=12.(2)设AB=t.因为AF2=a,所以BF2=t-a.由椭圆定义,得BF1+BF2=2a,可知BF1=3a-t.在△AF1B中,由余弦定理,可得(3a-t)2=a2+t2-2atcos60°,所以t=85a,即AB=85a,由S△AF1B=12a·85a·❑√32=2❑√35a2=40❑√3,得a=10.所以b=5❑√3.
