单元质检四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2018广东深圳模拟测试)下列函数中周期为π且为偶函数的是()A.y=sin(2x-π2)B.y=cos(2x-π2)C.y=sin(x+π2)D.y=cos(x+π2)答案A解析对于选项A,y=-cos2x,周期为π且是偶函数,所以选项A正确;对于选项B,y=sin2x,周期为π且是奇函数,所以选项B错误;对于选项C,y=cosx,周期为2π,所以选项C错误;对于选项D,y=-sinx,周期为2π,所以选项D错误.故答案为A.2.(2018全国Ⅱ,文7)在△ABC中,cosC2=❑√55,BC=1,AC=5,则AB=()A.4❑√2B.❑√30C.❑√29D.2❑√5答案A解析∵cosC=2cos2C2-1=-35,∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcosC=1+25+2×1×5×35=32.∴AB=4❑√2.3.函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小正周期和最小值为()A.π,0B.2π,0C.π,2-❑√2D.2π,2-❑√2答案C解析因为f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=1+sin2x+(1+cos2x)=2+❑√2sin(2x+π4),所以最小正周期为π,当sin(2x+π4)=-1时,取得最小值为2-❑√2.4.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π2)的图象过点(0,❑√3),则函数f(x)图象的一个对称中心是()A.(-π3,0)B.(-π6,0)C.(π6,0)D.(π12,0)答案B解析由题意,得❑√3=2sin(2×0+φ),即sinφ=❑√32.因为|φ|<π2,所以φ=π3.由2sin(2x+π3)=0,得2x+π3=kπ,k∈Z,当k=0时,x=-π6,故选B.5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acosB+bcosA=csinC,S=14(b2+c2-a2),则B=()A.90°B.60°C.45°D.30°答案C解析由正弦定理,得2R(sinAcosB+sinBcosA)=2RsinCsinC,于是sin(A+B)=sin2C,所以sinC=1,即C=π2,从而S=12ab=14(b2+c2-a2)=14(b2+b2),解得a=b,所以B=45°.故选C.6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,若x1,x2∈(-π6,π3),且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于()A.1B.12C.❑√22D.❑√32答案D解析由题中图象可得A=1,T2=2π2ω=π3−(-π6),解得ω=2.故f(x)=sin(2x+φ).由题图可知(π12,1)在函数f(x)的图象上,故sin(2×π12+φ)=1,即π6+φ=π2+2kπ,k∈Z.∵|φ|<π2,∴φ=π3,即f(x)=sin(2x+π3).∵x1,x2∈(-π6,π3),且f(x1)=f(x2),∴x1+x2=π12×2=π6.∴f(x1+x2)=sin(2×π6+π3)=❑√32,故选D.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.已知sin(π4-x)=34,且x∈(-π2,-π4),则cos2x的值为.答案-3❑√78解析sin2x=cos(π2-2x)=1-2sin2(π4-x)=1-2×(34)2=-18,∵x∈(-π2,-π4),∴2x∈(-π,-π2).∴cos2x=-❑√1-sin22x=-3❑√78.8.(2018北京,文14)若△ABC的面积为❑√34(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=;ca的取值范围是.答案π3(2,+∞)解析∵S△ABC=❑√34(a2+c2-b2)=12acsinB,∴a2+c2-b22ac=sinB❑√3,即cosB=sinB❑√3,∴sinBcosB=❑√3,即tanB=❑√3,∴∠B=π3,则ca=sinCsinA=sin(2π3-A)sinA=❑√32cosA-(-12)·sinAsinA=❑√32·1tanA+12,∴∠C为钝角,∠B=π3,∴0<∠A<π6,∴tanA∈(0,❑√33),1tanA∈(❑√3,+∞),故ca∈(2,+∞).三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,⃗AB·⃗AC=-6,S△ABC=3,求A和a.解因为⃗AB·⃗AC=-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0
0,ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π,且经过点(π3,❑√32).(1)求函数f(x)的解析式;(2)若角α满足f(α)+❑√3f(α-π2)=1,α∈(0,π),求α的值.解(1)由条件知周期T=2π,即2πω=2π,所以ω=1,即f(x)=Asin(x+π3).∵f(x)的图象经过点(π3,❑√32),∴Asin2π3=❑√32.∴A=1,∴f(x)=sin(x+π3).(2)由f(α)+❑√3f(α-π2)=1,得sin(α+π3)+❑√3sin(α-π2+π3)=1,即sin(α+π3)−❑√3cos(α+π3)=1,可得2sin[(α+π3)-π3]=1,即sinα=12.又α∈(0,π),解得α=π6或5π6.
