同步检测训练一、选择题1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于()A．(－2，－1)B．(－2,1)C．(－1,0)D．(－1,2)答案：D解析：本小题主要考查向量的坐标运算．a－b＝－＝(－1,2)，故选D.2．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b()A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向答案：A解析： a·b＝－30＋30＝0，∴a⊥b，故选A.3．已知向量OA＝(4,6)，OB＝(3,5)且OC⊥OA，AC∥OB则向量OC＝()A．(－，)B．(－，)C．(，－)D．(，－)答案：D解析：设OC＝(x，y)，则AC＝OC－OA＝(x－4，y－6) OC⊥OA，AC∥OB，∴解之得∴OC＝(，－)，故应选D.4．设a＝(4,3)，a在b上的投影为，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为()A．(2,14)B．(2，－)C．(－2，)D．(2,8)答案：B解析：a＝(4,3)，b＝(x，y)，x轴正方向上的单位向量i＝(1,0)，则⇒或又|b|≤14，∴x＝2，y＝－.∴b＝.故选B.5．(2009·湖北部分重点中学联考)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，则角B的大小为()A.B.C.D.答案：B解析： m∥n，∴(a＋c)sinC＝(a＋b)(sinB－sinA)，由正弦定理可得：(a＋c)c＝(a＋b)(b－a)⇒ac＝b2－a2－c2⇒cosB＝＝－，故角B的大小为.故选B.6．(2008·重庆模拟)若a＝(1,2)，b＝(－1,1)，ka＋b与a－b共线，则k的值为()A．2B．1C．0D．－1答案：D解析：由题意得ka＋b＝(k－1,2k＋1)，a－b＝(2,1)，又ka＋b与a－b共线，因此(k－1)×1－2(2k＋1)＝0，k＝－1，选D.7．(2008·皖南八校联考)已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，则x＋y的值为()A．0B．2C．4D．－4答案：A解析： a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)． (a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4，∴x＋y＝0.8．(2008·南昌调研)已知向量a＝(2,3)，b＝(－5，－1)，若ma＋nb(m≠0)与a垂直，则等于()A．－1B．0C．1D．2答案：C解析：利用向量垂直的充要条件构建方程探究变量之间的关系，由垂直的坐标表示切入， (ma＋nb)·a＝0，∴(2m－5n,3m－n)·(2,3)＝4m－10n＋9m－3n＝0⇒＝1，选C.二、填空题9．(2009·保定市调研)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－1,3)，c＝a－(a·b)b，则a与c夹角的余弦值为________．答案：－用心爱心专心1解析： c＝a－(a·b)b＝(1,2)－[1×(－1)＋2×3]·(－1,3)＝(6，－13)；∴cos〈a，c〉＝＝＝＝－.10．已知向量a＝(－2,1)，b＝(0,1)，若存在实数λ使得b⊥(λa＋b)，则λ等于________．答案：－1解析： b⊥(λa＋b)，∴b·(λa＋b)＝λa·b＋b2＝λ＋1＝0，解之得λ＝－1.故填－1.11．已知二次函数f(x)＝x2－2x＋6，设向量a＝(sinx,2)，b＝(2sinx，)，c＝(cos2x,1)，d＝(1,2)．当x∈[0，π]时，不等式f(a·b)>f(c·d)的解集为________．答案：(，)解析：a·b＝2sin2x＋1＝2－cos2x，x∈[1,3]，c·d＝cos2x＋2∈[1,3]，f(a·b)>f(c·d)，即为f(2－cos2x)>f(2＋cos2x)，又f(x)在[1,3]上为增函数，则2－cos2x>2＋cos2x，即cos2x<0，解集为(，)，故填(，)．三、解答题12．若a，b为非零向量且a∥b，λ1，λ2∈R，且λ1λ2≠0.求证：λ1a＋λ2b与λ1a－λ2b为共线向量．证明：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． a∥b，b≠0，a≠0，∴存在实数m，使得a＝mb，即a＝(x1，y1)＝(mx2，my2)，∴λ1a＋λ2b＝((mλ1＋λ2)x2，(mλ1＋λ2)y2)＝(mλ1＋λ2)(x2，y2)同理λ1a－λ2b＝(mλ1－λ2)(x2，y2)∴(λ1a＋λ2b)∥(λ1a－λ2b)∥b，而b≠0，∴(λ1a＋λ2b)∥(λ1a－λ2b)．13．在▱ABCD中，A(1,1)，AB＝(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.(1)若AD＝(3,5)，求点C的坐标；(2)当|AB|＝|AD|时，求点P的轨迹．解：(1)设点C坐标为(x0，y0)，又AC＝AD＋AB＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，即(x0－1，y0－1)＝(9,5)，∴x0＝10，y0＝6，即点C(10,6)．(2)由三角形相似，不难得出PC＝2MP设P(x，y)，则BP＝AP－AB＝(x－1，y－1)－(6,0)＝(x－7，y－1)，AC＝AM＋MC＝AB＋3MP＝AB＋3(AP－AB)＝3AP－AB＝(3(x－1),3(y－1))－(6,0)＝(3x－9,3y－3)， |AB|＝|...
