高考中档大题规范练(四)不等式1．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．2．(2015·宁波月考)某公司计划2015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？3．(2015·温州一模)某工厂去年某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品的固定成本为8元，今年，工厂第一次投入100万元，并计划以后每年比上一年多投入100万元，预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)＝(k>0，k为常数，n∈N)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求k的值，并求出f(n)的表达式；(2)若今年是第1年，则第几年年利润最高？最高利润为多少万元？4．(2015·杭州质检)若正数x，y满足x＋2y＋4＝4xy，且不等式(x＋2y)a2＋2a＋2xy－34≥0恒成立，求实数a的取值范围．5．在等比数列{an}中，a2＝，a3a6＝.设bn＝log2a2·log2a2，Tn为数列{bn}的前n项和．(1)求an和Tn；(2)若对任意的n∈N*，不等式λTn0，k>0，故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标．2．解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z＝3000x＋2000y.二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：作直线l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立解得x＝100，y＝200.∴点M的坐标为(100,200)，∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)．即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．3．解(1)∵g(n)＝，当n＝0时，由题意得k＝8.从而第n次投入后的年利润f(n)为f(n)＝(100＋10n)(10－)－100n＝1000－80()．(2)由(1)知f(n)＝1000－80(＋)≤1000－80×2×＝520，当且仅当＝，即n＝8时取等号．所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元．4．解∵正实数x，y满足x＋2y＋4＝4xy，即x＋2y＝4xy－4.不等式(x＋2y)a2＋2a＋2xy－34≥0恒成立，即(4xy－4)a2＋2a＋2xy－34≥0恒成立，变形得2xy(2a2＋1)≥4a2－2a＋34恒成立，即xy≥恒成立．又∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2，∴4xy＝x＋2y＋4≥4＋2，即2()2－－2≥0，∴≥或≤－(舍去)，可得xy≥2.要使xy≥恒成立，只需2≥恒成立，化简得2a2＋a－15≥0，解得a≤－3或a≥.故a的取值范围是(－∞，－3]∪[，＋∞)．5．解(1)设{an}的公比为q，由a3a6＝a22·q5＝q5＝得q＝，∴an＝a2·qn－2＝()n.bn＝log2a2·log2a2＝log2n－12·log2n＋12＝＝(－)，∴Tn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝.(2)①当n为偶数时，由λTn
