考点规范练47抛物线一、基础巩固1.(2018吉林省吉林市调研)以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是()A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,4)答案B解析由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0).选B.2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.-1716B.-1516C.1716D.1516答案B解析抛物线方程可化为x2=-y4,其准线方程为y=116.设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知116-y0=1,y0=-1516.3.(2018北京朝阳一模)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为()A.2B.4C.8D.16答案B解析如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形ABDC的中位线,则|MN|=12(|AC|+|BD|)=4,即M到直线x+1=0的距离为4.故选B.4.已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为()A.x2=32yB.x2=6yC.x2=-3yD.x2=3y答案D解析设点M(x1,y1),N(x2,y2).由{x2=ay,y=2x-2消去y,得x2-2ax+2a=0,所以x1+x22=2a2=3,即a=3,因此所求的抛物线方程是x2=3y.5.(2018山东菏泽期末)已知等边三角形AOB(O为坐标原点)的三个顶点在抛物线Γ:y2=2px(p>0)上,且△AOB的面积为9❑√3,则p=()A.❑√3B.3C.❑√32D.3❑√32答案C解析根据抛物线和等边三角形的对称性可知A,B两点关于x轴对称,不妨设直线OB:y=❑√33x,与y2=2px联立得B(6p,2❑√3p),因为△AOB的面积为9❑√3,所以❑√34×(4❑√3p)2=9❑√3,解得p=❑√32.故选C.6.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a=()A.19B.14C.13D.12答案A解析因为抛物线的准线为x=-p2,所以1+p2=5,解得p=8,所以m=4.又双曲线的左顶点坐标为(-❑√a,0),所以41+❑√a=1❑√a,解得a=19,故选A.7.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案9解析设点M坐标为(xM,yM).抛物线y2=4x的准线为x=-1,由抛物线的定义知xM+1=10,即xM=9.8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.答案2解析由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2❑√2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),化简得y2=4x(x>0).(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).设l的方程为x=ty+m.由{x=ty+m,y2=4x,得y2-4ty-4m=0,Δ=16(t2+m)>0,于是{y1+y2=4t,y1y2=-4m.①②因为⃗FA=(x1-1,y1),⃗FB=(x2-1,y2),所以⃗FA·⃗FB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.又⃗FA·⃗FB<0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0,③因为x=y24,所以不等式③可变形为y124·y224+y1y2-...
