2017---2018学年度第一学期第四次教学质量检测高三理科数学试题第一部分（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设复数满足＝，则＝（）A.1B.C.D.22.已知集合，则（）A.B.C.D.3.已知向量，，则向量的夹角的余弦值为（）A.B.C.D.4.执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为7，第二次输入的的值为9，则第一次、第二次输出的的值分别为()A.0，0B.1，1C.0，1D.1，05.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A．B．C．D．6.已知符号函数是上的增函数，，则（）A．B．C．D．7．函数是偶函数的充要条件是（）A.B.C.D.8．在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则（）A．B．C．D．9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛10.设双曲线（）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D。若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A.B.C.D.11.如下图，在小正方形边长为的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为（）A.B.C.D.12.已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A.B.C.D.第二部分（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中相应的横线上.）13.设是等差数列的前项和，已知，，则.14.若x，y满足约束条件，则的最大值为.15．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为α，且,与的夹角为45°．若，则=．16．若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)设f（x）=2（x+）.（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若f（）=0,a=1,求△ABC面积的最大值。18.(本小题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝.(1)证明：D′H⊥平面ABCD；(2)求二面角的正弦值．19.(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？20.(本小题满分12分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值．21.(本小题满分14分)已知函数，(I)证明：当；(II)证明：时，存在,使得对(III)确定的所有可能取值，使得存在，对任意的恒有.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.22.(本小题满分分)选修：坐标系与参数方程选讲.在平面直角坐...
