【优化探究】2017届高考数学一轮复习第八章第九节第二课时圆锥曲线的综合应用课时作业理新人教A版A组考点能力演练1.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A，M两点，设A(x1，y1)，M(x2，y2)．(1)若y1y2＝－8，求抛物线C的方程；(2)若直线AF与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点B，直线BG交抛物线C于另一点N.求证：直线AB与直线MN斜率之比为定值．解：(1)设直线AM的方程为x＝my＋p，代入y2＝2px得y2－2mpy－2p2＝0，则y1y2＝－2p2＝－8，得p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设B(x3，y3)，N(x4，y4)．由(1)可知y3y4＝－2p2，y1y3＝－p2.又直线AB的斜率kAB＝＝，直线MN的斜率kMN＝＝，∴＝＝＝＝2.2．设F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B，求证：∠AFM＝∠BFN；(3)求三角形ABF面积的最大值．解：(1)∵|MN|＝8，∴a＝4，又∵|PM|＝2|MF|得－a＝2(a－c)，即2e2－3e＋1＝0⇒e＝或e＝1(舍去)．∴c＝2，b2＝a2－c2＝12，∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)当AB的斜率为0时，显然∠AFM＝∠BFN＝0.满足题意．当AB的斜率不为0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB方程为x＝my－8，代入椭圆方程整理得：(3m2＋4)y2－48my＋144＝0，则Δ＝(48m)2－4×144(3m2＋4)，y1＋y2＝，y1·y2＝.∴kAF＋kBF＝＋＝＋＝＝0，∴kAF＋kBF＝0，从而∠AFM＝∠BFN.综上可知：恒有∠AFM＝∠BFN.(3)S△ABF＝S△PBF－S△PAF＝|PF|·|y2－y1|＝＝＝≤＝3.当且仅当3＝即m2＝(此时适合Δ>0的条件)取得等号．三角形ABF面积的最大值是3.3．已知点A，B，C是抛物线L：y2＝2px(p>0)上的不同的三点，O为坐标原点，直线OA∥BC，且抛物线L的准线方程为x＝－1.(1)求抛物线L的方程；(2)若三角形ABC的重心在直线x＝2上，求三角形ABC的面积的取值范围．解：(1)抛物线L的方程为y2＝4x.(2)设直线OA，BC的方程分别为y＝kx和y＝kx＋b(k≠0)．由联立消去y得k2x2＝4x，解得点A的坐标为A.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由消去y得k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0.Δ＝(2kb－4)2－4k2b2＝16－16kb>0，即kb<1.又由韦达定理可得x1＋x2＝，∴三角形ABC的重心的横坐标为＝＝2，化简得b＝，代入kb<1可得k2>1.又三角形ABC的面积为S＝×××＝＝×＝2.令t＝，则S＝2×，t∈(0,1)．考虑函数f(t)＝(4t－3)2(1－t)，t∈(0,1)，则易得函数f(t)在和上单调递减，在上单调递增，且f(0)＝9，f＝0，f＝，∴△ABC的面积的取值范围是(0,6)．B组高考题型专练1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为＋＝1.(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．2．(2015·高考山东卷)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.a．求的值；b．求△ABQ面积的最大值．解：(1)由题意知＋＝1，又＝，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由(1)知，椭圆E的方程为＋＝1.a．设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0)．因为＋y＝1，又＋＝1，即＝1，所以λ＝2，即＝2.b．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ>0，可得m2<4＋16k2.①则有x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|x1－x2|＝.因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝＝＝2.设＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0
