【优化探究】2017届高考数学一轮复习第八章第六节双曲线课时作业理新人教A版A组考点能力演练1．双曲线－＝1(00，b>0)上的点，F1，F2是其左、右焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于()A．4B．5C．6D．7解析：由||PF1|－|PF2||＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，|PF1|·|PF2|＝9，得c2－9＝a2.又＝，∴a＝4，c＝5，b＝3.∴a＋b＝7.答案：D4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是()A.B.C.D.解析：依题意，a2－b2＝m2＋n2＝c2，c2＝am,2n2＝2m2＋c2，得a＝4m，c＝2m，∴e＝＝.答案：D5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2]C．(1，]D．(1,3]解析：因为P为双曲线右支上的任意一点，所以|PF1|＝2a＋|PF2|，所以＝|PF2|＋＋4a≥2＋4a＝8a，当且仅当|PF2|＝2a，|PF1|＝4a时，等号成立，可得2a＋4a≥2c，解得e≤3，又因为双曲线离心率大于1，故选D.答案：D6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作与x轴垂直的直线，与双曲线的一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为________．解析：易知P，又∠PF1F2＝，∴tan＝，即＝，即e2－2e－＝0，∴e＝，∴＝－1＝2.∴＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x.答案：y＝±x7．设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝3|PF2|，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.又点P在以F1F2为直径的圆上，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(3a)2＋a2＝(2c)2，＝，∴e＝.答案：8．已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，其中一条渐近线为y＝x，点A在双曲线C上，若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝________.解析：双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则b＝a，c＝2a.在△AF2F1中，由|F1A|＝2|F2A|，|F1A|－|F2A|＝2a，得|F1A|＝4a，|F2A|＝2a，|F1F2|＝4a，∴cos∠AF2F1＝.答案：9．直线l：y＝(x－2)和双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且|AB|＝，又l关于直线l1：y＝x对称的直线l2与x轴平行．(1)求双曲线C的离心率；(2)求双曲线C的方程．解：(1)设双曲线C：－＝1过一、三象限的渐近线l1：－＝0的倾斜角为α.因为l和l2关于l1对称，记它们的交点为P，l与x轴的交点为M.而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.依题意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.又l：y＝(x－2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan30°＝＝.于是e2＝＝1＋＝1＋＝，所以e＝.(2)由于＝，于是设双曲线方程为－＝1(k≠0)，即x2－3y2＝3k2.将y＝(x－2)代入x2－3y2＝3k2中，得x2－3×3(x－2)2＝3k2.化简得到8x2－36x＋36＋3k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝2＝2＝＝，求得k2＝1.故所求双曲线方程为－y2＝1.10.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x2＋y2－4y－4＝0，双曲线的左、右顶点A，B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．(1)试求双曲线的标准方程；(2)记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，试在“8”字形曲线上求一点P，使得∠F1PF2是直角．解：(1)设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，在已知圆的方程中，令y＝0，得x2－4＝0，即x＝±2，则双曲线左、右顶点为A(－2,0)，B(2,0)，于是a＝2.令y＝2，可得x2－8＝0，解得x＝±2，即双曲线过点(±2，2)，则－＝1，∴b＝2.所以所求双曲线方程为－＝1.(2)由(1)得双曲线的两个焦点F1(－2，0)，F2...
