数列0219．如图，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点).(Ⅰ)写出；(Ⅱ)求出点的横坐标关于的表达式；(Ⅲ)设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)依题意，则，在正三角形中，有..，，①同理可得.②①-②并变形得，，.∴数列是以为首项，公差为的等差数列.，，..(Ⅲ)解法1：∵，∴..∴当时，上式恒为负值，∴当时，，∴数列是递减数列.的最大值为.若对任意正整数，当时，不等式恒成立，则不等式在时恒成立，即不等式在时恒成立.设，则且，∴解之，得或，即的取值范围是.20．在数列中，，。(Ⅰ）求的通项公式；(Ⅱ）令，求数列的前项和。(Ⅲ）求数列的前项和。【答案】（Ⅰ）由条件得，又时，，故数列构成首项为1，公式为的等比数列．从而，即．(Ⅱ）由得，，两式相减得：，所以．(Ⅲ）由得所以．21．设为数列的前项之积，满足．(1)设，证明数列是等差数列，并求和；(2)设求证：．【答案】(1)∵，∴∴，∵∴.∵∴，∴，∴，∴数列是以2为首项，以1为公差的等差数列，∴，∴，∴(2)，∵∴当时，，当时，，∴.22．已知各项均为正数的两个数列和满足：，，(1）设，，求证：数列是等差数列；(2）设，，且是等比数列，求和的值．【答案】（1）∵，∴。∴。∴。∴数列是以1为公差的等差数列。(2）∵，∴。∴。（﹡）设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。∴综上所述，。∴，∴。又∵，∴是公比是的等比数列。若，则，于是。又由即，得。∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。∴。∴。
