专题能力训练10三角变换与解三角形能力突破训练1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b=()A.B.C.2D.32.已知=-,则sinα+cosα等于()A.-B.C.D.-3.△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A=()A.B.C.D.4.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA=()A.B.C.D.5.若α∈,3cos2α=sin,则sin2α的值为()A.B.-C.D.-6.(2017江苏,5)若tan,则tanα=.7.(2017全国Ⅱ,文16)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin2B=bsinA.(1)求B;(2)若cosA=,求sinC的值.9.(2017浙江,18)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sinx·cosx(x∈R).(1)求f的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sinA+sinC的取值范围.11.设f(x)=sinxcosx-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.思维提升训练12.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos等于()A.B.-C.D.-13.(2017全国Ⅰ,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C=()A.B.C.D.14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=2A,cosA=,b=5,则△ABC的面积为()A.B.C.D.15.(2017浙江,14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.16.(2017天津红桥区高三模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(sinA-sinB)(a+b)=sinC,则cosB=.17.在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是.18.(2017江苏,16)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.##专题能力训练10三角变换与解三角形能力突破训练1.D解析由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即5=b2+4-4b×,即3b2-8b-3=0,又b>0,解得b=3,故选D.2.D解析=-=2coscosα+sinα=-,∴sinα+cosα=-,故选D.3.C解析由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,又因为b=c,所以a2=b2+b2-2b×bcosA=2b2(1-cosA).由已知a2=2b2(1-sinA),所以sinA=cosA,因为A∈(0,π),所以A=.4.D解析(方法1)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得,S△ABC=a·a=acsinB,c=a.由正弦定理,得sinC=sinA. C=-A,∴sinC=sinsinA,即cosA+sinA=sinA,整理得sinA=-3cosA. sin2A+cos2A=1,∴sin2A+sin2A=1,即sin2A=,解得sinA=(排除负值).故选D.(方法2)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由题意得S△ABC=a·acsinB,∴c=a.∴b2=a2+-2a·,即b=.由正弦定理得,sinA=.故选D.5.D解析 3cos2α=sin,∴3cos2α-3sin2α=(sinα-cosα),又α∈,∴sinα-cosα≠0,∴3(sinα+cosα)=-.平方求得sin2α=-.6.解析方法一:tanα=tan.方法二:因为tan,所以tanα=,答案为.7.解析由题意和正弦定理,可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,即cosB=.又因为B∈(0,π),所以B=.8.解(1)在△ABC中,由,可得asinB=bsinA,又由asin2B=bsinA,得2asinBcosB=b·sinA=asinB,所以cosB=,得B=.(2)由cosA=,可得sinA=,则sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinsinA+cosA=.9.解(1)由sin,cos=-,f-2,得f=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以,f(x)的单调递增区间是(k∈Z).10.(1)证明由a=btanA及正弦定理,得,所以sinB=cosA,即sinB=sin.又B为钝角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=.(2)解由(1)知,C=π-(A+B)=π--2A>0,所以A∈,于是sinA+sinC=sinA+sin=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2.因为0
