第3节基本不等式：≤考试要求1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).[常用结论与易错提醒]1.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.2.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.4.基本不等式的一般形式：(a1＋a2＋a3＋…＋an)≥(其中a1，a2，a3，…，an∈(0，＋∞)，当且仅当a1＝a2＝a3＝…＝an时等号成立).诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)当a≥0，b≥0时，≥.()(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.()(3)函数y＝x＋的最小值是2.()(4)函数f(x)＝sinx＋的最小值为4.()(5)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.()解析(2)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.(3)函数y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)函数f(x)＝sinx＋无最小值.(5)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×2.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A.80B.77C.81D.82解析xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时取等号.答案C3.若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A.2B.3C.4D.5解析因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C.答案C4.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝()A.1＋B.1＋C.3D.4解析当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.答案C5.(必修5P100A2改编)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大.解析设矩形的长为xm，宽为ym.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.答案156.已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，＋的最小值为________.解析 正数x，y满足x＋y＝1，∴y＝1－x，00且x>0，解得01)的最小值为________.(2)当x>0时，x＋(a>0)的最小值为3，则实数a的值为________.解析(1)y＝＝＝...
