第3节函数的单调性与最值考试要求1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[常用结论与易错提醒]1.对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；减区间为[－，0)和(0，]，且对勾函数为奇函数.2.设任意x1，x2∈D(x1≠x2)，则①＞0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在D上单调递增；②＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在D上单调递减.3.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)0，易知f(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴f(x)max＝f(2)＝1＋＝2.答案25.(2020·宁波模拟)已知log23＝a，则＝________，函数f(x)＝a2x－2ax的单调递增区间为________.解析由log23＝a得2a＝3，故＝2；又函数f(x)由u＝ax与y＝u2－2u复合，且a＝log23＞1，即u＝ax单调递增，而y＝u2－2u在[1，＋∞)上单调递增，则由复合函数的单调性性质知若f(x)单调递增，必须有ax≥1，故x≥0，即单调递增区间为[0，＋∞).答案2[0，＋∞)6.(2020·绿色评价联盟适考)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值为________.解析f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3，f(f(－3))＝f(3)＝2.由图象得f(x)min＝f(－1)＝－1.答案2－1考点一确定函数的单调性(区间)【例1】(1)已知函数f(x)＝log4(4－|x|)，则f(x)的单调递增区间是________；f(0)＋4f(2)＝________.(2)(一题多解)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性.(1)解析由f(x)＝log4(4－|x|)得函数f(x)的定义域为(－4，4)，且函数y＝4－|x|的单调递增区间为(－4，0]，则函数f(x)＝log4(4－|x|)的单调递增区间为(－4，0].f(0)＋4f(2)＝1＋4＝3.答案(－4，0]3(2)解法一设－10，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
