第一部分专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明第2讲概率、随机变量及其分布专题强化精练提能理1．(2015·江西省九江市第一次统考)在区间[0，2π]上任取一个数x，则使得2sinx>1的概率为()A.B.C.D.解析：选C.因为2sinx>1，x∈[0，2π]，所以x∈，所以所求概率P＝＝，故选C.2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A.B.C.D.解析：选D.因为函数f(x)有两个极值点，所以f′(x)＝x2＋2ax＋b2＝0有两个相异实根，则Δ＝(2a)2－4b2>0，即a>b，总的基本事件共有3×3＝9个，满足a>b的基本事件共有1＋2＋3＝6个，所以所求概率P＝＝.故选D.3．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为()A．1B.C.D.解析：选B.设事件A：第一次抛出的是偶数点，B：第二次抛出的是偶数点，则P(B|A)＝＝＝.4．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为、.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()A.B.C.D.解析：选B.因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为、、.所以他们不去北京旅游的概率分别为、、，所以至少有1人去北京旅游的概率P＝1－××＝.5．两人掷一枚硬币，掷出正面多者为胜，但这枚硬币质地不均匀，以致出现正面的概率P1与出现反面的概率P2不相等．已知出现正面与出现反面是对立事件，设两人各掷一次成平局的概率为P，则P与0.5的大小关系是()A．P<0.5B．P＝0.5C．P>0.5D．不确定解析：选C.据题意知两人掷一次成平局这一事件包含：两人均出现正面，两人均出现反面．故其概率为P＝P＋P＝(P1＋P2)2－2P1P2＝1－2P1P2>1－2＝.(注意条件中出现正面和出现反面是对立事件，故P1＋P2＝1.又P1≠P2，故由基本不等式得上式)6．(2015·洛阳模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，PB＋PC＋2PA＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A.B.C.D.解析：选D.以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则PB＋PC＝PD，因为PB＋PC＋2PA＝0，所以PB＋PC＝－2PA，得PD＝－2PA，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的，所以S△PBC＝S△ABC，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内黄豆落在△PBC内的概率为＝，故选D.7．(2015·河北省五校联盟质量监测)已知A(2，1)，B(1，－2)，C，动点P(a，b)满足0≤OP·OA≤2且0≤OP·OB≤2，其中O为坐标原点，则点P到点C的距离大于的概率为________．解析：由0≤OP·OA≤2得：0≤2a＋b≤2，由0≤OP·OB≤2得：0≤a－2b≤2.不等式组在直角坐标平面内所表示的区域如图正方形OMNQ，其边长为，令圆C的半径为，由几何概型的概率计算公式可知点P到点C的距离大于的概率为＝×＝1－.答案：1－8．连续抛掷两枚质地相同的正方体骰子(它们的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，记所得朝上的面的点数分别为x，y，向量OP＝(x，y)与x轴正半轴所成角为θ，则θ>60°的概率为________．解析：由题意知，基本事件总数为6×6＝36种，θ>60°时必须满足＝tanθ>，即y>x，则这样的基本事件有5＋3＋1＝9种，所以所求概率为＝.答案：9.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.设AB＝2AA1＝2a，EF＝a，B1E＝2B1F.在长方体ABCDA1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFED1DCGH内的概率为________．解析：因为EH∥A1D1，所以EH∥B1C1，所以EH∥平面BCC1B1.过EH的平面与平面BCC1B1交于FG，则EH∥FG，所以易证明几何体A1ABFED1DCGH和EB1FHC1G分别是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，所求概率为：P＝1－＝1－＝1－＝.答案：10．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为η，若η的数学期望E(η)>，则p的取值范围是________．解析：由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1...
