专题08平面解析几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│−│MP│为定值？并说明理由．【答案】（1）的半径或；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）因为过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设.因为与直线x+2=0相切，所以的半径为.由已知得，又，故可得，解得或.故的半径或.（2）存在定点，使得为定值.理由如下：设，由已知得的半径为.由于，故可得，化简得M的轨迹方程为.因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以.因为，所以存在满足条件的定点P.【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．（1）若为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得，且的面积等于16，求b的值和a的取值范围．【答案】（1）；（2），a的取值范围为.【解析】（1）连结，由为等边三角形可知在中，，，，于是，故的离心率是.（2）由题意可知，满足条件的点存在．当且仅当，，，即，①，②，③由②③及得，又由①知，故．由②③得，所以，从而故.当，时，存在满足条件的点P．所以，的取值范围为．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程．【答案】（1）见解析；（2）或.【解析】（1）设，则．由于，所以切线DA的斜率为，故．整理得设，同理可得．故直线AB的方程为．所以直线AB过定点．（2）由（1）得直线AB的方程为．由，可得．于是.设M为线段AB的中点，则．由于，而，与向量平行，所以．解得t=0或．当=0时，=2，所求圆的方程为；当时，，所求圆的方程为．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.4．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆的右焦点为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点．【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）由题意得，b2=1，c=1．所以a2=b2+c2=2．所以椭圆C的方程为．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线AP的方程为．令y=0，得点M的横坐标．又，从而．同理，．由得．则，．所以．又，所以．解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）．【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．5．【2019年高考天津卷文数】设椭圆的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知（O为原点）.（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x=4上，且，求椭圆的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，由已知有，又由，消去得，解得.所以，椭圆的离心率为.（2）由（1）知，，故椭圆方程为.由题意，，则直线的方程为，点P的坐标满足消去并化简，得到，解得.代入到的方程，解得.因为点在轴上方，所以.由圆心在直线上，可设.因为，且由（1）知，故，解得.因为圆与轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆与相切，得，可得.所以，椭圆的方程为.【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方...
