第4节导数与函数的零点考试要求能利用导数解决函数的零点、方程的根、曲线的交点等问题.知识梳理函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根的情况求参数的取值范围.[常用结论与易错提醒](1)注意构造函数；(2)注意转化思想、数形结合思想的应用.诊断自测1.若函数f(x)＝在其定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围是()A.(16，＋∞)B.[16，＋∞)C.(－∞，16)D.(－∞，16]解析①当x≤0时，f(x)＝x＋3x， y＝x与y＝3x在(－∞，0)上都单调递增，∴f(x)＝x＋3x在(－∞，0)上也单调递增，又f(－1)<0，f(0)>0，∴f(x)在(－1，0)内有一个零点.②当x>0时，f(x)＝x3－4x＋，f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0得x＝2或x＝－2(舍)，当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)递增，∴在x>0时，f(x)最小＝f(x)极小＝－8＋，要使f(x)在(0，＋∞)上无零点，需－8＋>0，∴a>16.答案A2.已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A.B.(－∞，)C.D.解析设点P(x0，y0)(x0<0)在函数f(x)上，由题意可知，点P关于y轴的对称点P′(－x0，y0)在函数g(x)上，所以消y0可得x＋ex0－＝(－x0)2＋ln(－x0＋a)，即ex0－ln(a－x0)－＝0(x0<0)，所以ex0－＝ln(a－x0)(x0<0).令m(x)＝ex－(x<0)，n(x)＝ln(a－x)(x<0)，它们的图象如图，当n(x)＝ln(a－x)过点时，解得a＝，由图可知，当a<时，函数m(x)与函数n(x)在(－∞，0)上有交点.答案B3.(2018·江苏卷)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________.解析f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(a∈R)，当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝1，所以此时f(x)在(0，＋∞)内无零点，不满足题意.当a>0时，由f′(x)>0得x>，由f′(x)<0得00，f(x)单调递增，当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则f(x)max＝f(0)＝1，f(－1)＝－4，f(1)＝0，则f(x)min＝－4，所以f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.答案－34.已知函数f(x)＝若g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________.解析g(x)＝f(x)－m有三个零点，根据题意可得x>1时，函数有一个零点；x≤1时，函数有两个零点.当x>1时，f(x)＝lnx＋，f′(x)＝－＝>0恒成立，f(x)∈(1，＋∞)，故m>1；当x≤1时，f(x)＝2x2－mx＋＋，要使得g(x)＝f(x)－m有两个零点，需满足解得m<－5或10，所以函数在(0，＋∞)上为增函数且f＝－1－<0，所以当m≥0时，与g(x)＝有一个公共点，当m<0时，令f(x)＝g(x)，∴x2＋xlnx－x＝m有一解即可，设h(x)＝x2＋xlnx－x，令h′(x)＝2x＋lnx＋1－＝0得x＝，即当x＝时，h(x)有极小值－，故当m＝－时有一公共点，故填m≥0或m＝－.答案m≥0或m＝－考点一导数与函数的零点【例1】(2018·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.(1)证明当a＝1时，f(x)≥1等价于(x2＋1)e－x－1≤0.设函数g(x)＝(x2＋1)e－x－1，则g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝－(x－1)2e－x.当x≠1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减.而g(0)＝0，故当x≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1.(2)解设函数h(x)＝1－ax2e－x.f(x)在(0，＋∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0，＋∞)只有一个零点.①当a≤0时，h(x)>0，h(x)没有零点；②当a>0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.当x∈(0，2)时，h′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0.所以h(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增.故h(2)...
