考点规范练37空间几何体的表面积与体积一、基础巩固1.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()A.1B.2C.4D.8答案B解析由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S表=2r×2r+2×12πr2+πr×2r+12×4πr2=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.2.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8答案C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱. S底=12×(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.3.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为()A.❑√22B.1C.❑√2D.❑√3答案C解析由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为△ABC所在圆面的直径,所以∠BAC=90°,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,在Rt△OMC1中,OM=x2,MC1=x2,OC1=R=1(R为球的半径),所以(x2)2+(x2)2=1,即x=❑√2,则AB=AC=1.所以侧面ABB1A1的面积S=❑√2×1=❑√2.4.(2018安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图所示,其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成,侧视图由半圆和等腰直角三角形组成,俯视图的实线部分为正方形,则该几何体的表面积为()A.3π+4❑√2B.4(π+❑√2+1)C.4(π+❑√2)D.4(π+1)答案A解析由三视图知几何体的上半部分是半圆柱,圆柱的底面半径为1,高为2,其表面积为S1=12×π×2×2+π×12=3π,下半部分为正四棱锥,底面棱长为2,斜高为❑√2,其表面积S2=4×(12×2×❑√2)=4❑√2,所以该几何体的表面积为S=S1+S2=3π+4❑√2.5.点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=❑√6,∠ABC=90°.若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为()A.2πB.4πC.8πD.16π答案D解析由题意,知S△ABC=3,设△ABC所在球的小圆的圆心为Q,则Q为AC的中点,当DQ与面ABC垂直时,四面体ABCD的最大体积为13S△ABC·DQ=3,∴DQ=3,如图,设球心为O,半径为R,则在Rt△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=(❑√3)2+(3-R)2,∴R=2,则这个球的表面积为S=4π×22=16π.故选D.6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案B解析设底面圆半径为R,米堆高为h. 米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∴体积V=14×13·πR2h=112×π×(16π)2×5. π≈3,∴V≈3209(立方尺).∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).7.(2018江苏,10)如图,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案43解析由题意知,多面体是棱长均为❑√2的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的,正四棱锥的高为1,所以这个八面体的体积为2V正四棱锥=2×13×(❑√2)2×1=43.8.已知棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是.答案32解析由三视图,可得棱长为4的正方体被平面AJGI截成两个几何体,且J,I分别为BF,DH的中点,如图,两个几何体的体积各占正方体的一半,则该几何体的体积是12×43=32.9.已知三棱锥P-ABC内接于球O,PA=PB=PC=2,当三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大时,球O的表面积为.答案12π解析由题意三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,三棱锥P-ABC的三个侧面的面积之和最大,三棱锥P-ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球,求出正方体的体对角线的长为2❑√3,所以球O的直径是2❑√3,半径为❑√3,球O的表面积为4π×(❑√3)2=12π.10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1...
