历年高三数学高考题中的翻折问题（二）VIP免费

历年数学高考题中的翻折问题（二）2006江苏（19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到EFA1的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）19本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力。用心爱心专心APFECBA1EFCPB图1图2解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3在图1中，取BE中点D，连结DF.AE：EB=CF：FA=1：2∴AF=AD=2而∠A=600,∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1,∴EF⊥AD在图2中，A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A1E⊥BE,又BEEFE∴A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP在图2中，A1E不垂直A1B,∴A1E是平面A1BP的垂线，又A1E⊥平面BEP，∴A1E⊥BE.从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则∠E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q.在△EBP中,BE=EP=2而∠EBP=600,∴△EBP是等边三角形.又A1E⊥平面BEP,∴A1B=A1P,∴Q为BP的中点,且3EQ,又A1E=1,在Rt△A1EQ中，11tan3EQEAQAE,∴∠EA1Q=60o,∴直线A1E与平面A1BP所成的角为600在图3中，过F作FM⊥A1P与M，连结QM,QF, CP=CF=1,∠C=600,∴△FCP是正三角形，∴PF=1.有112PQBP∴PF=PQ①, A1E⊥平面BEP,3EQEF∴A1E=A1Q,∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ②,由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,∴∠QMP=∠FMP=90o,且MF=MQ,从而∠FMQ为二面角B－A1P－F的平面角.在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又∴15AP. MQ⊥A1P∴11255AQPQAPMQ∴255MF在△FCQ中,FC=1,QC=2,∠C=600,由余弦定理得3QF在△FMQ中，2227cos28MFMQQFFMQMFMQ∴二面角B－A1P－F的大小为7arccos82007安徽文10．把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，折成直二面角后，在ABCD，，，四点所在的球面上，B与D两点之间的球面距离为（）Ａ．2πＣ．πＢ．π2Ｄ．π3用心爱心专心2007广东理科19．（本小题满分14分）如图6所示，等腰ABC△的底边66AB，高3CD，点E是线段BD上异于点BD，的动点，点F在BC边上，且EFAB⊥，现沿EF将BEF△折起到PEF△的位置，使PEAE⊥，记BEx，()Vx表示四棱锥PACFE的体积．（1）求()Vx的表达式；（2）当x为何值时，()Vx取得最大值？（3）当()Vx取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，96ABCS，2265412BEFBDCxSSxV(x)=261(9)312xx（036x）（2）261'()(9)34Vxx，所以(0,6)x时，'()0vx，V(x)单调递增；636x时'()0vx，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值126；（3）过F作MF//AC交AD与M,则,21212BMBFBEBEMBBEABBCBDAB，PM=62，6654942336MFBFPFBC，在△PFM中，84722cos427PFM，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为27；2007湖南18．（2007高考湖南卷）如图2，EF，分别是矩形ABCD的边ABCD，的中点，G是EF上的一点，将GAB△，GCD△分别沿ABCD，翻折成1GAB△，2GCD△，并连结12GG，使得平面1GAB⊥平面ABCD，12GGAD∥，且12GGAD．连结2BG，如图3．用心爱心专心1G2GDFCBAEAEBCFDG图6PEDFBCA18．解：解法一：（Ｉ）因为平面1GAB⊥平面ABCD，平面1GAB平面ABCDAB，ADAB⊥，AD平面ABCD，所以AD⊥平面1GAB，又AD平面12GADG，所以平面1GAB⊥平面12GADG．（II）过点B作1BHAG⊥于点H，连结2GH．由（I）的结论可知，BH⊥平面12GADG，所以2BGH是2BG和平面12GADG所成的角．因为平面1GAB⊥平面ABCD，平面1GAB平面ABCDAB，1GEAB⊥，1GE平面1GAB，所以1GE⊥平面ABCD，故1GEEF⊥．因为12GGAD，ADEF，所以可在EF上取一点O，使12EOGG，又因为12GGADEO∥∥，所以四边形12...