考点13变化率与导数、导数的运算1．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(2)＝()A．0B．2C．4D．8【答案】A2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()A．0B．－5C．－10D．－37【答案】D【解析】选由题意知，f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x＜0或x＞2时，f′(x)＞0，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在[－2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，由条件知f(0)＝m＝3，∴f(2)＝－5，f(－2)＝－37，∴最小值为－37.3．设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为()A．(0,0)B．(1，－1)C．(－1,1)D．(1，－1)或(－1,1)【答案】D【解析】由题易知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率为f′(x0)＝3x＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且解得或所以当时，点P的坐标为(1，－1)；当时，点P的坐标为(－1,1)．4．若函数f(x)＝e2x＋ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为()A．[－1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－2，＋∞)【答案】C5．(若函数f(x)＝(x＋a)ex在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，0)C．(－1,0)D．[－1，＋∞)【答案】A【解析】f′(x)＝ex(x＋a＋1)，由题意，知方程ex(x＋a＋1)＝0在(0，＋∞)上至少有一个实数根，即x＝－a－1＞0，解得a＜－1.6．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝3x＋4sinx－cosx的拐点是M(x0，f(x0))，则点M()A．在直线y＝－3x上B．在直线y＝3x上C．在直线y＝－4x上D．在直线y＝4x上【答案】B【解析】f′(x)＝3＋4cosx＋sinx，f″(x)＝－4sinx＋cosx，由题意知4sinx0－cosx0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直线y＝3x上．故选B.7．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象为一条连续不断的曲线，f(1＋x)＝f(1－x)，f(1)＝a，且当0＜x＜1时，f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)＜f(x)，则f(x)在[2015,2016]上的最大值为()A．aB．0C．－aD．2016【答案】C【解析】由f(1＋x)＝f(1－x)可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，且f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x)在[2015,2016]上的图象与[－1,0]上的图象形状完全相同．令g(x)＝，则g′(x)＝＜0(x∈(0,1))，函数g(x)在(0,1)上单调递减，则g(x)＜g(0)＝0，所以f′(x)＜f(x)＜0，则函数f(x)在(0,1)上单调递减．又由奇函数的性质可得f(x)在(－1,0)上也单调递减，则f(x)在[2015，2016]上的最大值为f(2015)＝f(－1)＝－f(1)＝－a.8．已知函数f(x)＝x2＋4x＋alnx，若函数f(x)在(1,2)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－6，＋∞)B．(－∞，－16)C．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)【答案】C【解析】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x＋4＋＝，f(x)在(1,2)上是单调函数，∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(1,2)上恒成立，即2x2＋4x＋a≥0或2x2＋4x＋a≤0在(1,2)上恒成立，即a≥－(2x2＋4x)或a≤－(2x2＋4x)在(1,2)上恒成立．记g(x)＝－(2x2＋4x)，1＜x＜2，则－16＜g(x)＜－6，∴a≥－6或a≤－16.9．已知函数f(x)＝ex(x－b)(b∈R)．若存在x∈，使得f(x)＋xf′(x)＞0，则实数b的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A10．已知函数fn(x)＝xn＋1，n∈N的图像与直线x＝1交于点P，若图像在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012的值为()A．－1B．1－log20132012C．－log20132012D．1【答案】A【解析】由题意可得点P的坐标为(1,1)，f′n(x)＝(n＋1)·xn，所以fn(x)图像在点P处的切线的斜率为n＋1，故可得切线的方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，所以切线与x轴交点的横坐标为xn＝，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012＝log2013(x1x2…x2012)＝log2013(×××…×)＝log2013＝－1.故选A.11．已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，...
