第一部分专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的热点问题专题强化精练提能理[A卷]1．已知F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，过F1作垂直于x轴的直线与双曲线相交，其中一个交点为P，则|PF2|＝()A．6B．4C．2D．1解析：选A.由题意知|PF2|－|PF1|＝2a，由双曲线方程可以求出|PF1|＝4，a＝1，所以|PF2|＝4＋2＝6.故选A.2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1·MF2＜0，则y0的取值范围是()A.B.C.D.解析：选A.由题意知a＝，b＝1，c＝，所以F1(－，0)，F2(，0)，所以MF1＝(－－x0，－y0)，MF2＝(－x0，－y0)．因为MF1·MF2＜0，所以(－－x0)(－x0)＋y＜0，即x－3＋y＜0.因为点M(x0，y0)在双曲线上，所以－y＝1，即x＝2＋2y，所以2＋2y－3＋y＜0，所以－＜y0＜.故选A.3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4，3)，则此双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选A.由题意可知c＝＝5，所以a2＋b2＝c2＝25.①又点(4，3)在y＝x上，故＝.②由①②解得a＝3，b＝4，所以双曲线的方程为－＝1，故选A.4．(2015·河南省洛阳市统考)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1，2)C．(2，1＋)D．(1，1＋)解析：选B.若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF<45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则
0⇒e2－e－2<0⇒－11，所以10，b>0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y＝x对称，则该双曲线的离心率为()A.B.C．2D.解析：选D.如图所示，点P与点F2关于直线y＝x对称，所以|OP|＝|OF2|＝|OF1|＝c，所以PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，又|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2b，|PF1|＝2a，又因为点P在双曲线上，所以|PF2|－|PF1|＝2a，2b－2a＝2a，b＝2a，故e＝＝.7．已知双曲线的两条渐近线均和圆C：(x－1)2＋y2＝相切，且双曲线的右焦点为抛物线y2＝4x的焦点，则该双曲线的标准方程为________．解析：由题意可知双曲线的半焦距c＝，设双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为kx－y＝0，根据圆心(1，0)到该直线的距离为半径，得k2＝，即＝.又a2＋b2＝()2，则a2＝4，b2＝1，所以双曲线的标准方程为－y2＝1.答案：－y2＝18．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，|AM|＝1，且PM·AM＝0，则|PM|的最小值是________．解析：因为PM·AM＝0，所以AM⊥PM.所以|PM|2＝|AP|2－|AM|2＝|AP|2－1.因为椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，所以|AP|min＝2，所以|PM|min＝.答案：9．在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A、B，则直线AB恒过定点为________．解析：设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝x2，则y′＝x，则在点A处的切线方程为y－y1＝x1(x－x1)，化简得，y＝x1x－y1，同理，在点B处的切线方程为y＝x2x－y2.又点Q(t，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝x1t－y1，－2＝x2t－y2，则说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝xt－y，即直线AB的方程为：y－2＝tx，因此直线AB恒过定点(0，2)．答案：(0，2)10．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为________．解析：由题意，＝，所以b＝a，所以c...
