高考中档大题规范练(三)立体几何与空间向量1.如图，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是矩形，平面MADN⊥平面ABCD，E，F分别为MA，DC的中点，求证：(1)EF∥平面MNCB；(2)平面MAC⊥平面BND.2．如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积VF－DEG.3.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．4.(2015·金华模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2，又AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．(1)求证：AE⊥平面A1BD；(2)求二面角D－BA1－A的余弦值；(3)求点B1到平面A1BD的距离．5．(2015·杭州模拟)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．答案精析高考中档大题规范练(三)立体几何与空间向量1．证明(1)取NC的中点G，连接FG，MG，如图所示．因为ME∥ND且ME＝ND，F，G分别为DC，NC的中点，FG∥ND且FG＝ND，所以FG綊ME，所以四边形MEFG是平行四边形，所以EF∥MG，又MG⊂平面MNCB，EF⊄平面MNCB，所以EF∥平面MNCB.(2)因为四边形MADN是矩形，所以ND⊥AD.因为平面MADN⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面MADN＝AD，DN⊂平面MADN，所以ND⊥平面ABCD，所以ND⊥AC.因为四边形ABDC是菱形，所以AC⊥BD.因为BD∩ND＝D，所以AC⊥平面BDN.又AC⊂平面MAC，所以平面MAC⊥平面BDN.2．(1)证明在等边△ABC中，AD＝AE，∴＝在折叠后的三棱锥A－BCF中也成立．∴DE∥BC，又DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF.(2)证明在等边△ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥CF.∵在三棱锥A－BCF中，BC＝，∴BC2＝BF2＋CF2＝＋＝，∴CF⊥BF.又BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.(3)解VF－DEG＝VE－DFG＝××DG×FG×GE＝××××＝.3．(1)证明以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故AD1＝(0,1,1)，B1E＝.∵AD1·B1E＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1.(2)解假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)．使得DP∥平面B1AE，此时DP＝(0，－1，z0)．又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)，且AB1＝(a,0,1)，AE＝.∵n⊥平面B1AE，∴n⊥AB1，n⊥AE，得取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，有－az0＝0，解得z0＝.又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.4．(1)证明以D为原点，DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(－1,0,0)，E(－1，－1,0)，A1(1，－2,0)，C1(－1，－2,0)，B(0,0，)，B1(0，－2，)．AE＝(－2，－1,0)，A1D＝(－1,2,0)，BD＝(0,0，－)，∴AE·A1D＝2－2＋0＝0.∴AE⊥A1D.同理，AE·BD＝0，∴AE⊥BD.又A1D∩BD＝D，∴AE⊥平面A1BD.(2)解设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由⇒取n1＝(2,1,0)．设平面AA1B的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由于A1A＝(0,2,0)，A1B＝(－1,2，)，由⇒取n2＝(3,0，)，∴cos〈n1，n2〉＝＝，故所求二面角的余弦值为.(3)解B1B＝(0,2,0)，平面A1BD的法向量取n1＝(2,1,0)，则点B1到平面A1BD的距离为d＝＝＝.5．(1)证明以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故AD1＝(0,1,1)，B1E＝，AB1＝(a,0,1)，AE＝.∵AD1·B1E＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1.(2)解假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)．使得DP∥平面B1AE，此时DP＝(0，－1，z0)．又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．∵n⊥平面B1AE，∴n⊥AB1，n⊥AE，得取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，有－az0＝0，解得z0＝.又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.(3)解连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C.又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1，∴AD1是平面A1B1E的一个法向量，此时AD1＝(0,1,1)．设AD1与n所成的角为θ，则cosθ＝＝.∵二面角A－B1E－A1的大小为30°，∴|cosθ|＝cos30°，即＝，解得a＝2，即AB的长为2.高考中档大题规范练
