【优化探究】2017届高考数学一轮复习第五章第四节数列求和课时作业理新人教A版A组考点能力演练1．已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an，则S2014＝()A．2×31007－2B．2×31007C.D.解析：由an＋2＝3an可得数列{an}的奇数项与偶数项分别构成等比数列，所以S2014＝(a1＋a3＋…＋a2013)＋(a2＋a4＋…＋a2014)＝＋＝(－2)×(1－31007)＝2×31007－2，故选择A.答案：A2．(2016·长沙质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2015的值为()A．2015B．2013C．1008D．1007解析：因为an＋2Sn－1＝n，n≥2，所以an＋1＋2Sn＝n＋1，n≥1，两式相减得an＋1＋an＝1，n≥2.又a1＝1，所以S2015＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2014＋a2015)＝1008，故选择C.答案：C3．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋sin2，则该数列的前18项的和为()A．2101B．2012C．1012D．1067解析：当n为奇数时，an＋2＝an＋1，即奇数项构成首项为1、公差为1的等差数列；当n为偶数时，an＋2＝2an，即偶数项构成首项为2、公比为2的等比数列，所以该数列的前18项和为9＋＋＝45＋1022＝1067，故选择D.答案：D4．(2016·贵阳一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝4，S4＝10，则数列的前2015项和为()A.B.C.D.解析：设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a1＋3d＝4，S4＝4a1＋6d＝10，联立解得a1＝d＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n，＝＝－，所以数列的前2015项和为＋＋…＋＝1－＝，故选择B.答案：B5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，Sm＝(m，n∈N*且m≠n)，则下列各值中可以为Sn＋m的值的是()A．2B．3C．4D.解析：由已知，设Sn＝An2＋Bn，则⇒两式相减得B(m－n)＝0，故B＝0，A＝.Sm＋n＝A(m＋n)2＝＝>＝4，故只有D符合，故选D.答案：D6．已知数列{an}的通项公式为an＝则其前10项和为________．解析：依题意，注意到a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝＝341，a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝＝－85，因此题中的数列的前10项和等于341－85＝256.答案：2567．数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝n2(n∈N*)，设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，则Tn＝________.解析：本题考查数列的前n项和与通项间的关系、裂项相消法．依题意，当n≥2时，an＝n2－(n－1)2＝2n－1；又a1＝12＝2×1－1，因此an＝2n－1，bn＝＝，因此Tn＝＝＝.答案：8．在数列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1，记Sn是数列{an}的前n项和，则S60＝________.解析：依题意得，当n是奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a1＋a3＋a5＋…＋a59＝30×1＋×1＝465；当n是偶数时，an＋2＋an＝1，即数列{an}中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a58＋a60＝(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋…＋(a58＋a60)＝15.因此，该数列的前60项和S60＝465＋15＝480.答案：4809．(2016·南昌模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,4Sn＝a＋2an－3，且a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，当n≥5时，an>0.(1)求证：当n≥5时，{an}成等差数列；(2)求{an}的前n项和Sn.解：(1)证明：由4Sn＝a＋2an－3,4Sn＋1＝a＋2an＋1－3，得4an＋1＝a－a＋2an＋1－2an，(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.当n≥5时，an>0，所以an＋1－an＝2，所以当n≥5时，{an}成等差数列．(2)由4a1＝a＋2a1－3，得a1＝3或a1＝－1，又a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，所以an＋1＋an＝0(n≤5)，q＝－1，而a5>0，所以a1>0，从而a1＝3，所以an＝所以Sn＝10．(2016·石家庄一模)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*，λ≠－1)，且a1,2a2，a3＋3为等差数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和．解：(1)法一： an＋1＝λSn＋1(n∈N*)，∴an＝λSn－1＋1(n≥2)，∴an＋1－an＝λan，即an＋1＝(λ＋1)an(n≥2)，λ＋1≠0，又a1＝1，a2＝λS1＋1＝λ＋1，∴数列{an}是以1为首项，公比为λ＋1的等比数列，∴a3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1，∴an＝2n－1，bn＝1＋3(n－1)＝3n－2.法二： a1＝1，an＋1＝λSn＋1(n∈N*)，∴a2＝λS1＋1＝λ＋1，a3＝λS2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1...
