第4节复数考试要求1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知识梳理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ对应的复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则向量OZ的长度叫做复数z＝a＋bi的模|z|＝|a＋bi|＝2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ.3.复数的运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝(c＋di≠0).[常用结论与易错提醒]1.(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.2.－b＋ai＝i(a＋bi).3.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).4.i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N).诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(3)原点是实轴与虚轴的交点.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()解析(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(2019·全国Ⅱ卷)设z＝i(2＋i)，则z＝()A.1＋2iB.－1＋2iC.1－2iD.－1－2i解析 z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴z＝－1－2i.故选D.答案D3.(2019·全国Ⅰ卷)设z＝，则|z|＝()A.2B.C.D.1解析 z＝＝＝，∴|z|＝＝.故选C.答案C4.(选修2－2P112A2改编)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i解析 A(6，5)，B(－2，3)，∴线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.答案C5.(2019·江苏卷)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________.解析(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因为其实部为0，故a＝2.答案26.设a∈R，若复数(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＝________，|z|＝________.解析复数＝＝，由于复数(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＋1＝1－a，解得a＝0，则z＝＋i，z＝－i，则|z|＝＝.答案0考点一复数的有关概念【例1】(1)已知i为虚数单位，则i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2020·北京通州区三模)设复数＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝()A.0B.1C.2D.－1解析(1)因为i607＝(i2)303·i＝－i，－i的共轭复数为i.所以应选A.(2)因为＝＝－1＋i，又＝a＋bi(a，b∈R)，所以a＝－1，b＝1，因此a＋b＝0.答案(1)A(2)A规律方法(1)复数的分类、复数相等及复数对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.【训练1】(1)(2020·杭州质检)设复数z满足z(1－2i)＝2＋i(其中i是虚数单位)，则|z|＝()A.B.C.D.1(2)(2019·温州适应性测试)若复数z满足2z＋z＝3＋i，其中i为虚数单位，z是z的共轭复数，则z＝________，|z|＝________.解析(1)由题意得z＝＝＝＝i，则|z|＝1，故选D.(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi(a，b∈R)，2z＋z＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3＋i，则a＝b＝1，所以z＝1＋i，|z|＝＝.答案(1)D(2)1＋i考点二复数的几何意义【例2】(1)在复平面内，复数z＝1－i对应的向量为OP，复数z2对应的向量为OQ，那么向量PQ对应的复数为(...
