高三第一学期承智班班第2次考试数学试题一、选择题1．已知满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.2．定义在上的函数满足，当时，，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.3．若函数恰有4个零点，则的取值范围为（）A.B.C.D.4．如图，在中,，，等边三个顶点分别在的三边上运动，则面积的最小值为（）A.B.C.D.5．函数，则函数的零点个数为（）A.2个B.3个C.4个D.5个6．已知坐标平面上的凸四边形满足，那么的取值范围是（）A.B.C.D.7．以方程的两根为三角形两边之长，第三边长为，则实数的取值范围是（）A.B.或C.D.8．的值域为，则的取值范围是（）A.B.C.D.9．已知函数，则方程的根的个数不可能为（）A.6B.5C.4D.310．设是椭圆长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是（）11．已知函数为增函数，则的取值范围是（）12．定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）A.B.C.D.二、填空题13．已知函数是定义在上的偶函数，对于，都有成立，当且时，都有给出下列四个命题：①②直线是函数的图象的一条对称轴；③函数在上为减函数；④函数在上有四个零点.其中所有正确命题的序号为________.14．已知函数且函数在处有极值10，则实数的值为________.15．若函数满足且；函数，则的零点有_____个16．已知抛物线焦点为，直线过焦点且与抛物线交于两点为抛物线准线上一点且，连接交轴于点，过作于点，若，则__________．三、解答题17．（1）若函数的图象在处的切线垂直于直线，求实数的值及直线的方程；（2）求函数的单调区间；（3）若，求证：.18．在直角坐标系中，已知定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设是曲线上两点，点关于轴的对称点为(异于点)，若直线分别交轴于点，证明:为定值.19．已知圆，定点为圆上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，设点的轨迹为曲线；（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若经过的直线交曲线于不同的两点，（点在点,之间），且满足，求直线的方程.20．已知函数，.（1）若对任意的，均有，求的取值范围；（2）若对任意的，均有，求的取值范围.参考答案DCBDDCDDDA11．A12．C13．①②③④14．-1115．816．17．（1）,；（2）当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；（3）证明见解析.（1）∵（），定义域为，∴∴函数的图象在处的切线的斜率∵切线垂直于直线，∴，∴∴，，∴切点为∴切线的方程为，即.（2）由（1）知：，当时，，此时的单调递增区间是；当时，若，则；若，则此时的单调递增区间是，单调递减区间是综上所述：当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.（3）由（2）知：当时，在上单调递减∴时，∴时，，即.18．（1）；（2）详见解析.解：(1)因为点在内，所以圆内切于圆，则，由椭圆定义知，圆心的轨迹为椭圆，且，则，所以动圆圆心的轨迹方程为.(2)设，则，由题意知.则，直线方程为，令，得，同理，于是，又和在椭圆上，故，则.所以.19．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）设点的坐标为，是线段的垂直平分线，,又点在上，圆，半径是点的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为，则曲线方程：（Ⅱ）设当直线斜率存在时，设直线的斜率为则直线的方程为：,,整理得：,由，解得：------①又,由,得，结合①得，即,解得直线的方程为：,当直线斜率不存在时，直线的方程为与矛盾.直线的方程为：20．(1)(2).，由，得.，当时，，要使恒成立，只需，解得.当时，，要使恒成立，只需，矛盾.综上的取值范围是.（2），要使恒成立，只需，则，因为，，所以只需恒成立，则所求的的取值范围为.
