变量分离技巧的应用知识拓展分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端各含同一个变量，这是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一范围未知.结论1不等式f(x)≥g(a)恒成立⇔[f(x)]min≥g(a)(求解f(x)的最小值)；不等式f(x)≤g(a)恒成立⇔[f(x)]max≤g(a)(求解f(x)的最大值).结论2不等式f(x)≥g(a)存在解⇔[f(x)]max≥g(a)(求解f(x)的最大值)；不等式f(x)≤g(a)存在解⇔[f(x)]min≤g(a)(求解f(x)的最小值).结论3方程f(x)＝g(a)有解⇔g(a)的范围与f(x)的值域有交集(求解f(x)的值域).解决问题时需要注意：(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；(2)确定是求最大值、最小值，还是值域.题型突破题型一不等式恒成立求参数【例1】已知函数f(x)＝ax－ln(x＋1)＋a－1(x>－1，a∈R).若函数f(x)在x＝0处取到极值，且对任意x∈(－1，＋∞)，f(x)≥mx＋m－2恒成立，求实数m的取值范围.解f′(x)＝a－，f′(0)＝a－1＝0，∴a＝1，f(x)＝x－ln(x＋1)，∴f(x)＝x－ln(x＋1)≥m(x＋1)－2，∴m≤(x>－1).令x＋1＝n，n>0，∴m≤＝1－＋，设g(n)＝1－＋，n>0，则g′(n)＝；当n∈(0，e2)时，g′(n)<0，g(n)单调递减，当n∈(e2，＋∞)时，g′(n)>0，g(n)单调递增，则g(n)min＝g(e2)＝1－，∴m的取值范围为.【训练1】(1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋1，x∈(0，1]，且|f(x)|≤3恒成立，则a的取值范围是________.(2)(2019·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为()A.[0，1]B.[0，2]C.[0，e]D.[1，e]解析(1)由题意|x2＋ax＋1|≤3，即－3≤x2＋ax＋1≤3，所以－4－x2≤ax≤2－x2，又x∈(0，1]，即－－x≤a≤－x，得≤a≤，g(x)＝－－x在(0，1]上单调递增，所以g(x)max＝g(1)＝－5.h(x)＝－x在(0，1]上单调递减，所以h(x)min＝h(1)＝1.所以－5≤a≤1，即a的取值范围是[－5，1].(2)当x≤1时，由f(x)＝x2－2ax＋2a≥0恒成立，而二次函数f(x)图象的对称轴为直线x＝a，所以当a≥1时，f(x)min＝f(1)＝1>0恒成立，当a<1时，f(x)min＝f(a)＝2a－a2≥0，∴0≤a<1.综上，a≥0.当x>1时，由f(x)＝x－alnx≥0恒成立，即a≤恒成立.设g(x)＝(x>1)，则g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝e，且当1e时，g′(x)>0，∴g(x)min＝g(e)＝e，∴a≤e.综上，a的取值范围是0≤a≤e.故选C.答案(1)[－5，1](2)C题型二不等式有解求参数【例2】(1)已知函数f(x)＝x3－x2＋2x＋1在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________.(2)(2019·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝ax3－x.若存在t∈R，使得|f(t＋2)－f(t)|≤，则实数a的最大值是________.解析(1)f′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式f′(x)＝x2－ax＋2<0成立，即x∈(－2，－1)时，a<＝－2，当且仅当x＝即x＝－时等号成立.所以满足要求的实数a的取值范围是(－∞，－2).(2)由题意得f(t＋2)－f(t)＝a(t＋2)3－(t＋2)－(at3－t)＝a[(t＋2)3－t3]－2＝a(t＋2－t)[(t＋2)2＋(t＋2)t＋t2]－2＝2a(3t2＋6t＋4)－2＝2a[3(t＋1)2＋1]－2.由|f(t＋2)－f(t)|≤，得|2a[3(t＋1)2＋1]－2|≤，即－≤2a[3(t＋1)2＋1]－2≤，≤a[3(t＋1)2＋1]≤，∴·≤a≤·.设g(t)＝·，则当t＝－1时，g(t)max＝.∴当t＝－1时，a取得最大值.答案(1)(－∞，－2)(2)【训练2】已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解f(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝－ax－2，由f(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，即a>－有解.设h(x)＝－，所以只要a>h(x)min即可.而h(x)＝－1，所以h(x)min＝－1.所以a>－1，即实数a的取值范围为(－1，＋∞).题型三含参数的方程有解问题【例3】已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有极值点，则实数a的范围为________.解析由题意f′(x)＝lnx－2ax＋1＝0在(0，＋∞)上有解，∴a＝，x∈(0，＋∞)，令g(x)＝，x∈(0，＋∞)，g′(x)＝，当x∈(0，1)时，g′(x)>0，g(x)单调...
