第13讲导数与函数的极值、最值及实际应用1．(2016·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()A．y＝x3B．y＝ln(－x)C．y＝xe－xD．y＝x＋解析：选D.由题可知，B、C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．故选D.2．(2016·济宁模拟)函数f(x)＝x2－lnx的最小值为()A.B．1C．0D．不存在解析：选A.f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0
解析：选A.由题意得f′(x)＝x2－x＋c，若函数f(x)有极值，则Δ＝1－4c>0，解得c<.4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析：选C.因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当00.所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上递减，在(0，9)上递增，所以x＝9是该函数的极大值点，又该函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以该函数在x＝9处取得最大值．5．(2016·江西省八所重点中学联考)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B.C．(0，1)D．(0，＋∞)解析：选B.因为f(x)＝x(lnx－ax)，所以f′(x)＝lnx－2ax＋1，由题可知f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f′(x)＝0，则2a＝，令g(x)＝，则g′(x)＝，所以g(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又因为当x从右边趋近于0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，所以只需0<2a<1⇒00，f(x)递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)递减，所以x＝1是f(x)的极大值点．②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－，因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1，解得－1－1.答案：(－1，＋∞)11．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是递增的．若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0；当x∈时，f′(x)＜0.所以f(x)在上是递增的，在上是递减的．(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－lna＋a－1.因此f＞2a－2等价于lna＋a－1...
