第8讲圆锥曲线的弦一、选择题1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：选D．因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，选D．2．已知直线y＝2(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)，若MA·MB＝0，则m等于()A．B．C．D．0解析：选B．由题意可得8x2－20x＋8＝0，解得x＝2或x＝，则A(2，2)，B(，－)．点M(－1，m)，由MA·MB＝0，可得(3，2－m)·＝0．化简2m2－2m＋1＝0，解得m＝．故选B．3．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于()A．±B．±C．±D．±2解析：选A．将直线与椭圆方程联立，化简整理得(3＋4k2)x2＝12，(*)因为分别过A，B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，故方程的两个根为±1，代入方程(*)，得k＝±，故选A．4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是()A．2B．C．4D．2解析：选C．设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，则|AF|·|BF|＝×＝≥4．二、填空题5．过抛物线y2＝4x的焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，则＋等于________．解析：抛物线y2＝4x，可知2p＝4，设直线l1的倾斜角为θ(θ为锐角)，则l2的倾斜角为＋θ，AB，CD为过焦点的弦，|AB|＝，|CD|＝＝，所以＋＝＋＝＝．答案：6．已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．1解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，显然x1≠x2．所以·＝3，即kMN·＝3，因为M，N关于直线y＝x＋m对称，所以kMN＝－1，因为y0＝－3x0．又因为y0＝x0＋m，所以P，代入抛物线方程得m2＝18·，解得m＝0或－8，经检验都符合．答案：0或－8三、解答题7．已知点A、B的坐标分别是(－1，0)、(1，0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2．(1)求动点M的轨迹方程；(2)若过点N的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．解：(1)设M(x，y)，因为kAM·kBM＝－2，所以·＝－2(x≠±1)，化简得2x2＋y2＝2(x≠±1)，即为动点M的轨迹方程．(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)．当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，则C，D，此时CD的中点不是N，不合题意．故设直线l的方程为y－1＝k，将C(x1，y1)，D(x2，y2)代入2x2＋y2＝2(x≠±1)得2x＋y＝2，①2x＋y＝2，②①－②整理得k＝＝－＝－＝－1，所以直线l的方程为y－1＝(－1)×，即所求直线l的方程为2x＋2y－3＝0．8．(2018·甘肃张掖一诊)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，点P为椭圆短轴的端点，且△PF1F2的面积为2．(1)求椭圆的方程；(2)点Q是椭圆上任意一点，A(4，6)，求|QA|－|QF1|的最小值；(3)点B是椭圆上的一定点，B1，B2是椭圆上的两动点，且直线BB1，BB2关于直线x＝1对称，试证明直线B1B2的斜率为定值．解：(1)由题意可知c＝，S△PF1F2＝|F1F2|×b＝2，所以b＝2，求得a＝3，故椭圆的方程为＋＝1．(2)由(1)得|QF1|＋|QF2|＝6，F1(－，0)，F2(，0)．那么|QA|－|QF1|＝|QA|－(6－|QF2|)＝|QA|＋|QF2|－6，而|QA|＋|QF2|≥|AF2|＝＝9，所以|QA|－|QF1|的最小值为3．(3)设直线BB1的斜率为k，因为直线BB1与直线BB2关于直线x＝1对称，所以直线BB2的斜率为－k，所以直线BB1的方程为y－＝k(x－1)，设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，2由可得(4＋9k2)x2＋6k(4－3k)x＋9k2－24k－4＝0，因为该方程有一个根为x＝1，所以x1＝，同理得x2＝，所以kB1B2＝＝＝＝＝，故直线B1B2的斜率为定值．1．已知拋物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．解：(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1，p＝2，所...
