25常考的递推公式问题的破解方略1．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是________．答案解析由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴a3·a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝，∴a4＝＋(－1)4，∴a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝.2．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的人数，如果a1＝300，则a10＝________.答案300解析依题意，得消去bn，得an＋1＝an＋150.由a1＝300，得a2＝300；由a2＝300，得a3＝300；……从而得a10＝300.3．已知f(x)＝log2＋1，an＝f()＋f()＋…＋f()，n为正整数，则a2015＝________.答案2014解析因为f(x)＝log2＋1，所以f(x)＋f(1－x)＝log2＋1＋log2＋1＝2.所以f()＋f()＝2，f()＋f()＝2，…，f()＋f()＝2，由倒序相加，得2an＝2(n－1)，an＝n－1，所以a2015＝2015－1＝2014.4．在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝5n－3×2n－1解析在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得＝×＋，①令＝bn，则①式变为bn＋1＝bn＋，即bn＋1－1＝(bn－1)，所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为b1－1＝－1＝－，公比为.所以bn－1＝(－)×()n－1，即bn＝1－×()n－1＝，故an＝5n－3×2n－1.5．数列{an}的前n项和Sn满足2SnSn－1＝an(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则数列{an}的通项公式为________．答案an＝解析当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，则2SnSn－1＝Sn－Sn－1，即－＝－2，又＝＝1，故{}是首项为1，公差为－2的等差数列，则＝1＋(n－1)(－2)＝－2n＋3，所以Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，验证a1＝1不满足，故所求通项公式an＝6．设函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝，数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项an＝________.答案解析由f(0)＝，得a1＝，由f(1)＝n2an(n∈N*)，得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝n2an.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，整理得＝，所以an＝a1×××…×＝××××…×＝，显然a1＝也符合．即{an}的通项为an＝.7．若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，则f2014(4)＝________.答案8解析因为42＋1＝17，f(4)＝1＋7＝8，则f1(4)＝f(4)＝8，f2(4)＝f(f1(4))＝f(8)＝11，f3(4)＝f(f2(4))＝f(11)＝5，f4(4)＝f(f3(4))＝f(5)＝8，…，所以fk＋1(n)＝f(fk(n))为周期数列．可得f2014(4)＝8.8．数列{an}，{bn}满足an＝lnn，bn＝，则数列{an·bn}中第________项最大．答案3解析设函数f(x)＝lnx，则f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e.分析知函数f(x)在(0，e]上是增函数，在[e，＋∞)上是减函数，又f(2)＝ln2＝ln
