4-5第2讲不等式的证明1．(2018·长春质量检测(二))(1)如果关于x的不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，求实数m的取值范围；(2)若a，b均为正数，求证：aabb≥abba．解：(1)令y＝|x＋1|＋|x－5|＝，可知|x＋1|＋|x－5|≥6，故要使不等式|x＋1|＋|x－5|≤m的解集不是空集，只需m≥6．(2)证明：因为a，b均为正数，所以要证aabb≥abba，只需证aa－bbb－a≥1，即证()a－b≥1，当a≥b时，a－b≥0，≥1，可得()a－b≥1；当a＜b时，a－b＜0，0＜＜1，可得()a－b＞1，故a，b均为正数时，()a－b≥1，当且仅当a＝b时等号成立，故aabb≥abba成立．2．已知实数a，b，c，d满足a>b>c>d，求证：＋＋≥．证明：法一：因为(a－d)＝[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]≥3·3＝9，当且仅当a－b＝b－c＝c－d时取等号，所以＋＋≥．法二：因为(a－d)＝[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]≥＝9，当且仅当a－b＝b－c＝c－d时取等号，所以＋＋≥．3．(2018·成都第二次诊断性检测)(1)求证：a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)；(2)已知a，b，c均为实数，且a＝x2＋2y＋，b＝y2＋2z＋，c＝z2＋2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0．证明：(1)因为a2＋b2≥2ab，a2＋3≥2a，b2＋3≥2b，将此三式相加得2(a2＋b2＋3)≥2ab＋2a＋2b，所以a2＋b2＋3≥ab＋(a＋b)．(2)假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，因为a＝x2＋2y＋，b＝y2＋2z＋，c＝z2＋2x＋，所以a＋b＋c＝(x2＋2y＋)＋(y2＋2z＋)＋(z2＋2x＋)＝(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋π－3＞0，即a＋b＋c＞0与a＋b＋c≤0矛盾，故假设错误，原命题成立，即a,b，c中至少有一个大于0．4．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则＋>＋；(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．证明：(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd，得(＋)2>(＋)2．因此＋>＋．(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd．1因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd．由(1)，得＋>＋．②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a＋b＋2>c＋d＋2．因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd．于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2．因此|a－b|<|c－d|．综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．5．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1．证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤．(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，所以＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c．所以＋＋≥1．6．已知正实数a，b，c．(1)若a＋b为定值且c>恒成立，求证：a－c<；(2)是否存在a，b，使得当＋＝2时，a＋2b＝3．若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为a，b，c为正数，a＋b为定值，所以≥恒成立，故()max＝，又因为c>恒成立，所以c>，即2c>a＋b，所以2ac>a2＋ab，所以c2－ab>a2－2ac＋c2＝(a－c)2，所以a－c<．(2)因为＋＝2，所以a＋2b＝(a＋2b)＝≥＝4，所以不存在a，b，使得当＋＝2时，a＋2b＝3．1．设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M．(1)证明：＜；(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小．解：(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2＜－2x－1＜0解得－＜x＜，即M＝，所以≤|a|＋|b|＜×＋×＝．(2)由(1)得a2＜，b2＜，因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，故|1－4ab|2＞4|a－b|2，即|1－4ab|＞2|a－b|．22．设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1．求证：(1)a＋b＋c≥；(2)＋＋≥(＋＋)．证明：(1)要证a＋b＋c≥；由于a，b，c>0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3．即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3．而ab＋bc＋ca＝1，故只需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．所以原不等式成立．(2)＋＋＝．在(1)中已证a＋b＋c≥．因此要证原不等式成立，只需证明≥＋＋，即证a＋b＋c≤1，即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca．而a＝≤，b≤，c≤，所以a＋b＋c≤ab＋bc＋ca．(当且仅当a＝b＝c＝时等号成立)所以原不等式成立．3
