向量在解析几何中的应用向量为“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，形成了代数与几何的新纽带．它也是解决解析几何问题的有力工具，向量法简洁、明快、颇具特色．本文例谈用向量法解决解析几何问题．1．研究直线所成的角例1已知定点(42)A，，O为原点，P是线段OA垂直平分线上的一点，若OPA为锐角，求点P的横坐标的取值范围．分析：①用解析法，利用到角公式需对P点的位置讨论，求出直线斜率再带入到角公式，然后解不等式，运算较繁；②把OPA看成是两向量POPA�，的夹角，只要0POPA�·即可．下面给出后一种思路的解法．解：OPA为向量POPA�，的夹角，cosPOPAOPAPAPO��·．OPA∵为锐角，0POPA�∴·，且APO，，三点不共线．OA的垂直平分线方程为12(2)yx，即250xy．设(52)Paa，，则(25)POaa�，，(423)PAaa�，，由2520150POPAaa�·，解得1a或3a．P∴点横坐标的取值范围为(1)(3)，，∞∞．评析：利用数量积的定义处理有关长度、角度等问题时可以减少计算量．当然本题还可以以OA为直径做圆，来求点P横坐标的取值范围．2．证明三点共线例2设抛物线22(0)ypxp的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于AB，两点．点C在抛物线的准线上，且BC平行于x轴，证明：直线AC过原点O．分析：证AC过点O，即证ACO，，三点共线，转化为证向量OC�与OA�共线，即OCOA�∥．解：设221212122()222yypAyByyyCypp，，，，，，则2212122222yyppAFyBFypp�，，，．AFB，，∵三点共线，AFBF�∴∥．22122102222yyppyypp，即212yyp．用心爱心专心又21211102222ypppyyyyp∵．OAOC�∴∥，即ACO，，三点共线．∴直线AC经过原点．3．解决动点轨变问题例3已知点(30)H，，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足HPPM，32PM�MQ�．当点P在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．分析：此题为解析几何中求动点的轨迹方程的问题，动点M的运动随点P的运动而运动．分别设出P、M与Q点的坐标，将已知向量坐标化，然后利用向量数量积及向量相关知识找到等量关系．解：设()(0)(0)MxyPbQa，，，，，，其中0a，则()()PMxybMQaxy�，，，．32PMMQ�∵，即3()()2xybaxy，，．3()22yybyb，∴．3322yPHPMxy�，，，∴．PHPM∵，0PHPM�∴·，即33022yyx，24yx．∴动点M的轨迹方程为24(0)yxx．评析：使用向量共线与垂直的充要条件，处理直线的平行和垂直关系，与利用直线的斜率关系解题实质是相同的．但向量的坐标运算避开了斜率是否存在的讨论，从而简化了解题过程．平面向量用于解析几何中能够把较复杂的几何关系转化为简单的代数运算，能够充分体现数学中的数形结合思想，达到避繁就简，化难为易的效果，也为解决平面解析几何问题开辟了一条新途径．用心爱心专心
