高考数学 命题热点全覆盖 专题08 含参数的导数问题解题规律 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题08含参数的导数问题解题规律一．知识点基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数①(C)′＝________(C为常数);②(x)′＝________；③(x2)′＝________；④′＝________；⑤()′＝________．(2)初等函数的导数公式①(xn)′＝________；②(sinx)′＝__________；③(cosx)′＝________；④(ex)′＝________；⑤(ax)′＝___________；⑥(lnx)′＝________；⑦(logax)′＝__________．5．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝________________________；(2)[f(x)·g(x)]′＝_________________________；(3)′＝____________________________．6．复合函数的导数(1)对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y＝f(u)和u＝g(x))的复合函数为y＝f(g(x))．（二）构造函数例2．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当,为两个不相等的正数，证明：.【答案】（1）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区间内为减函数；（2）见解析.【解析】(1)求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即.设，利用导数可得在区间内为增函数，，从而可得结论.【详解】（1）函数的定义域为，.若，，则在区间内为增函数；若，令，得.则当时，，在区间内为增函数；当时，，在区间内为减函数.（2）当时，.不妨设，则原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即..下面证明当时，恒成立.设，则，故在区间内为增函数，，即，所以.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.练习1.已知函数.（1）证明:有两个零点；（2）已知，若,使得，试比较与的大小.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)在上单调递减，在上单调递增，根据函数的最值情况确定零点个数；(2)由，，可得：，令，函数在上单调递增，，∴，又 在上是增函数，∴，即.试题解析：（1）据题知，求导得：令，有；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，∴令，有；令，有故在和各有1个零点.∴有两个零点.（2）由，而∴令，则，∴函数在上单调递增，故.∴，又 在上是增函数，∴，即.（三）极值点偏移例3．已知函数(其中e是自然对数的底数，k∈R)．(1)讨论函数的单调性；(2)当函数有两个零点时，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。（1）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性。（2）根据题意将证明的问题转化为证明，即证，构造函数，利用函数的单调性证明即可。试题解析：（1）解： ∴。①当时，令，解得，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增。②当时，恒成立，∴函数在R上单调递增.综上，当时，在上单调递减，在上单调递增。当时，在R上单调递增.（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点。所以。设函数的两个零点为，则，设，解得，所以，要证，只需证，设设单调递增，所以，所以在区间上单调递增，所以，故．练习1.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）已知存在两个极值点，，令，若，，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）对函数进行求导，讨论导数的正负，求得单调区间.（2）将变形为，利用韦达将其转化为关于a的函数，求得最值，即可得到的取值范围.①当时，在上，单调递增；在上，单调递减.②当时，在和上，单调递减；在上，单调递增.（2），则，由（1）可知，，，且.则，从而.令，，则.因为，所以，所以在上单调递减，则，即.因为，，即，所以，即的取值范围为.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数的能成立的问题，培养学生的转化能力...