高考数学 热点题型 专题04 立体几何 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

立体几何热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解.【例1】(满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点.(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值.教材探源本题源于教材选修2－1P109例4，在例4的基础上进行了改造，删去了例4的第(2)问，引入线面角的求解.四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，3分(得分点2)又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB.4分(得分点3)(2)解由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，PC＝(1，0，－)，AB＝(1，0，0).＝，即(x－1)2＋y2－z2＝0.①又M在棱PC上，设PM＝λPC，则x＝λ，y＝1，z＝－λ.②由①，②解得(舍去)，所以M，从而AM＝.8分(得分点5)设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即所以可取m＝(0，－，2).10分(得分点6)于是cos〈m，n〉＝＝.因此二面角M－AB－D的余弦值为.12分(得分点7)得分要点❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，作辅助线→证明线线平行→证明线面平行；第(2)问中，建立空间直角坐标系→根据直线BM和底面ABCD所成的角为45°和点M在直线PC上确定M的坐标→求平面ABM的法向量→求二面角M－AB－D的余弦值.❷得关键分：(1)作辅助线；(2)证明CE∥BF；(3)求相关向量与点的坐标；(4)求平面的法向量；(5)求二面角的余弦值，都是不可少的过程，有则给分，无则没分.❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证，如(得分点4)，(得分点5)，(得分点6)，(得分点7).【类题通法】利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系.第二步：确定点的坐标.第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标.第四步：计算向量的夹角(或函数值).第五步：将向量夹角转化为所求的空间角.第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】如图在直角梯形BB1C1C中，∠CC1B1＝90°，BB1∥CC1，CC1＝B1C1＝2BB1＝2，D是CC1的中点，四边形AA1C1C可以通过直角梯形BB1C1C以CC1为轴旋转得到，且二面角B1－CC1－A为120°.(1)若点E是线段A1B1上的动点，求证：DE∥平面ABC；(2)求二面角B－AC－A1的余弦值.又A1D∩DB1＝D，A1D，DB1⊂平面DA1B1，∴平面DA1B1∥平面CAB，又DE⊂平面DA1B1，∴DE∥平面ABC.(2)解在平面A1B1C1内，过C1作C1F⊥B1C1，由题知CC1⊥C1B1，CC1⊥A1C1，∴CC1⊥平面A1B1C1.分别以C1F，C1B1，C1C为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系C1－xyz，则C1(0，0，0)，A(，－1，1)，C(0，0，2)，B(0，2，1)，所以C1A＝(，－1，1)，C1C＝(0，0，2)，AC＝(－，1，1)，BC＝(0，－2，1)，热点二立体几何中的探索性问题此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线、面平行、垂直位置关系的探究或空间角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种解决方式：(1)根据条件作出判断，再进一步论证；(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在.【例2】在如图所示的几何体中，平面ADNM⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，∠DAB＝，AB＝2，AM＝1，E是AB的中点.(1)求证：平面DEM⊥平面ABM；(2)在线段AM上是否存在点P，使二面角P－EC－D的大小为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由.(2)解在线段AM存在点P，理由如下：由DE⊥AB，AB∥CD，得DE⊥CD，因为四边形ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD且交线为AD，所以ND⊥平面ABCD.以D为原点，DE，DC，DN所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的坐标系.则D(0，0，0)，E(，0，0)，C(0，2，0)，N(0，0，1)，EC＝(－，2，0)，设P(，－1，m)(0≤m≤1)，则EP＝(0，－1，m)，易知平面ECD的一个法向量为DN＝(0，0，1).设平面PEC的法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝1，则n＝，假设在线段AM上...