“多”点与“少”点引发的错解一、曲线与方程的概念在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解(纯粹性);(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点(完备性),那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.二、典型例题1.“多”点例1.动点P与两定点F1，F2的连线的斜率之积为定值k,试求动点P轨迹的方程．分析本题中没有给定坐标系，因此应先建立适当的坐标系，然后再根据条件坐标化．错解:取两定点所在的直线F1F2为x轴，以F1F2的中点O为原点，建立直角坐标系，设F1F2的坐标分别为(-a,0)，(a,0)，P(x,y)为轨迹上任意一点，则直线FlP的斜率直线F2P的斜率依题意有.化简，得轨迹方程为．所以所求的轨迹方程为.剖析:要全面考虑曲线上动点运动的各种情况，以避免“少”点或“多”点，如上面的解法中就是因为“多”x≠±a而致使解题错误.正解:取两定点所在的直线F1F2为x轴，以F1F2的中点O为原点，建立直角坐标系，设F1F2的坐标分别为(-a,0)，(a,0)，P(x,y)为轨迹上任意一点，则直线FlP的斜率直线F2P的斜率依题意有.化简，得轨迹方程为．所以所求的轨迹方程为.2.“少”点例2.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．错解：如图，设点M的坐标为(x,y)∵M为线段AB的中点，∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)，∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.而,∴∴.整理，得x+2y-5=0，用心爱心专心1剖析:在平面直角坐标系中，遇到垂直问题，常利用斜率之积等于-1解题，但须注意斜率是否存在，即往往需要讨论，如上面解法.求轨迹方程有时利用平面几何知识更为方便快捷.正解：如图，设点M的坐标为(x,y)∵M为线段AB的中点，∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)，∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.而,∴∴.整理，得x+2y-5=0，∵当x=1时，A,B的坐标分别为（2,0），（0,4），∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.在求轨迹方程时,应当前思后想仔细审题,既要去掉那些不合题意的点(或其它曲线),也要补上那些符合题意而在解题过程中漏掉的点(或其它曲线).否则,一定会留下解题的遗憾.用心爱心专心2
