每日一题规范练(第五周)[题目1]已知Sn为等比数列{an}的前n项和，公比q＝2，且S2＝3，等差数列{bn}满足b2＝a3，b3＝－b5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn的最大值．解：(1)因为等比数列{an}满足公比q＝2，前2项和S2＝3，所以S2＝a1＋a2＝a1＋2a1＝3，解得a1＝1，所以an＝a1×qn－1＝2n－1.(2)由题及(1)知，b2＝a3＝4.因为b3＋b5＝0，所以b4＝0，则数列{bn}的公差d＝＝－2＜0，故当n＝3或4时，Tn取得最大值，此时T3＝T4＝b1＋b2＋b3＝3b2＝12.[题目2]如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝45°，∠BAD＝105°，AD＝，BC＝2，AC＝3.(1)求边AB的长及cos∠ABC的值；(2)若记∠ABC＝α，求sin的值．解：(1)在△ABD中，∠ABD＝180°－(45°＋105°)＝30°，由＝，得AB＝＝×＝.在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC，所以32＝3＋22－2×2cos∠ABC，所以cos∠ABC＝－.(2)由(1)知cosα＝－，α∈，所以sinα＝＝，sin2α＝－，cos2α＝－.所以sin＝sin2αcos－cos2αsin＝.[题目3](2019·长沙雅礼中学检测)某公司为评估两套促销活动方案(方案1的运作费用为5元/件；方案2的运作费用为2元/件)，在某地区部分营销网点进行试点(每个试点网点只采用一种促销活动方案)，运作一年后，对比该地区上一年度的销售情况，制作相应的等高条形图如图所示．(1)请根据等高条形图提供的信息，为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案(不必说明理由)；(2)已知该公司产品的成本为10元/件(未包括促销活动运作费用)，为制定本年度该地区的产品销售价格，统计上一年度的8组售价xi(单元：元/件，整数)和销售yi(单位：件)(i＝1，2，…，8)如下表所示：售价3335373941434547销量840800740695640580525460①请根据下列数据计算相应的相关指数R2，并根据计算结果，选择合适的回归模型进行拟合；②根据所选回归模型，分析售价x定为多少时？利润z可以达到最大．项目Combin＝－1200lnx＋5000Combin＝－27x＋1700Combin＝－x2＋120052446.9513142122.89124650附：相关指数R2＝1－.解：(1)由等高条形图可知，年度平均销售额与方案1的运作相关性强于方案2.(2)①由已知数据可知，回归模型y＝－1200lnx＋5000对应的相关指数R＝0.5792；回归模型y＝－27x＋1700对应的相关指数R＝0.8946；回归模型y＝－x2＋1200对应的相关指数R＝0.9990.因为R＞R＞R，所以采用回归模型y＝－x2＋1200进行拟合最为合适．②由(1)可知，采用方案1的运作效果比方案2好，故利润z＝(x－15)，z′＝－(x＋30)(x－40)，当x∈(0，40)时，z′＞0，z＝(x－15)单调递增；当x∈(40，＋∞)时，z′＜0，z＝(x－15)单调递减，故当售价x＝40时，利润z达到最大．[题目4]如图，四边形ABCD是菱形，EA⊥平面ABCD，EF∥AC，CF∥平面BDE，G是AB中点．(1)求证：EG∥平面BCF；(2)若AE＝AB，∠BAD＝60°，求二面角A-BE-D的余弦值．(1)证明：设AC∩BD＝O，连接EO，OG.因为G是AB中点，O是AC，BD的中点，所以OG∥BC.又OG⊄平面BCF，知OG∥平面BCF.因为CF∥平面BDE，且平面BDE∩平面ACFE＝EO，所以EO∥CF.由EO⊄平面BCF，知EO∥平面BCF.又EO∩OG＝O，所以平面EOG∥平面BCF.又EG⊂平面EOG，故EG∥平面BCF.(2)解：由(1)知EO∥CF，AO＝OC，又EF∥AC，所以EFOA.则四边形AOFE为平行四边形，所以AE∥FO.又EA⊥底面ABCD，AC⊥BD，则OA，OB，OF两两垂直．如图建立空间直角坐标系O-xyz，设AE＝AB＝2，又因为∠BAD＝60°，所以DG⊥AB，OA＝，OB＝1，则E＝(，0，2)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，G，所以DB＝(0，2，0)，BE＝(，－1，2)．设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，得可取n＝(2，0，－)．因为EA⊥DG，EA∩AB＝A，所以DG⊥平面EAB，所以平面EAB的法向量可取DG＝.所以cos〈n，DG〉＝＝＝.所以二面角A-BE-D的余弦值为.[题目5]已知函数f(x)＝－ax2＋ex－1.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为e，求a的值；(2)求证：当x＞0时，f(x)＞0.(1)解：由函数f(x)＝－ax2＋ex－1，可得f′(x)＝ex－2ax.因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为e，所以f′(1)＝e－2a＝e，所以a＝0.(2)证明：由(1)知，f′(x)＝ex－2ax.令h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝ex－2a.①...
