专题五第二讲点、直线、平面之间的位置关系A组1．(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．2．(文)设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n为两条不同的直线．给出下列命题：①若n∥m，m⊂α，则n∥α；②若α∥β，n⊄β，n∥α，则n∥β；③若β⊥α，γ⊥α，则β∥γ；④若n∥m，n⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题是(C)A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④[解析]若n∥m，m⊂α，则n∥α或n⊂α，即命题①不正确，排除A、B；若α∥β，n⊄β，n∥α，则n∥β，则命题②正确，排除D，故应选C．(理)(2017·河南八市高三质检)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]本题主要考查空间中点、线、面的位置关系．因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B．3．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，△AED、△EBF、△FCD分别沿DE、EF、FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为(B)A．B．C．D．[解析]由条件知A′E、A′F、A′D两两互相垂直，以A′为一个顶点，A′E、A′F、A′D为三条棱构造长方体，则长方体的对角线为四面体外接球的直径， A′E＝A′F＝1，A′D＝2，∴(2R)2＝12＋12＋22＝6，∴R＝．4．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中(B)A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直[解析]①过A、C作BD的垂线AE、CF， AB与BC不相等，∴E与F不重合，在空间图(2)中，若AC⊥BD， AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，这样在平面BCD内，过点C有两条直线CE、CF都与BD垂直矛盾，∴A错；②若AB⊥CD， AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC， ABAB，这样的△ABC不存在，∴C错误．5．已知三棱柱ABC－A1B1C1底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为__3__.[解析]4πR2＝12π，∴R＝，△ABC外接圆半径r＝，∴柱高h＝2＝2，∴体积V＝×()2×2＝3．6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段A1C1上的动点，则四棱锥P－ABCD的外接球半径R的取值范围是__.__[解析]当P为A1C1的中点时，设球半径为R，球心到底面ABCD距离为h，则，∴R＝，当P与A1(或C1)重合时，外接球就是正方体的外接球，R＝，∴R∈[，]．7．如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E、F分别为线段AD、PC的中点.(1)求证：AP∥平面BEF；(2)求证：BE⊥平面PAC．[分析](1)问根据线面平行的判定定理在面BEF找直线与AP平行，充分利用中点的条件．(2)证BF⊥AC，BE⊥AP即可．[解析](1)证明：如图所示，连结AC交BE于点O，连结OF． E为AD中点，BC＝AD，AD∥BC，∴四边形ABCE为平行四边形．∴O为AC的中点，又F为PC中点，∴OF∥AP．又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF．(2)由(1)知四边形ABCE为平行四边形．又 AB＝BC，∴四边形ABCE为菱形．∴BE⊥AC．由题意知BC綊AD，∴BC綊ED，∴四边形BCDE为平行四边形∴BE∥CD．又 AP⊥平面PCD，∴AP⊥CD.∴AP⊥BE．又 AP∩AC＝A，∴BE⊥平面PAC．8．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,...
