专题31直线、平面平行的判定与性质1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理。2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题。热点题型一直线与平面平行的判定和性质例1、如图所示，已知P、Q是正方体ABCD－A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心。证明：PQ∥平面BCC1B1。证明：方法一，如图①，取B1B中点E，BC中点F，连接PE、QF、EF，① △A1B1B中，P、E分别是A1B和B1B的中点，∴PE綊A1B1。同理QF綊AB。又A1B1綊AB，∴PE綊QF。∴四边形PEFQ是平行四边形。∴PQ∥EF。又PQ⊄平面BCC1B1，EF⊂平面BCC1B1，∴PQ∥平面BCC1B1。②【提分秘籍】证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；(2)利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；(3)注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可。【举一反三】如图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，且AB⊥CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解析： AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、FH，∴AB∥FG，AB∥EH。∴FG∥EH。同理可证EF∥GH。∴截面EFGH是平行四边形。又EF⊥FG，∴▱EFGH为矩形。设AB＝a，CD＝b，又设FG＝x，GH＝y，则由平面几何知识可得＝，＝。两式相加得＋＝1，即y＝(a－x)。∴S矩形EFGH＝FG·GH＝x·(a－x)＝x(a－x)。 x＞0，a－x＞0且x＋(a－x)＝a为定值，∴当且仅当x＝a－x时，x(a－x)＝为最大值，此时x＝，即当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时，截面面积最大。热点题型二平面与平面平行的判定和性质例2、如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D。证明：连接A1C交AC1于点E， 四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED。 A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED， E是A1C的中点，∴D是BC的中点。又 D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D。又 BD1⊄平面AC1DC1D⊂平面AC1D∴BD1∥平面AC1D同理A1D1∥平面AC1D。又A1D1∩BD1＝D1，∴平面A1BD1∥平面AC1D。【提分秘籍】平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出两条相交直线平行另一平面。本题的证明就是运用了这一判定定理。【举一反三】如图所示，平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且＝，求证：EF∥平面β。解析：当AB和CD在同一平面内时，由α∥β可知AC∥BD，ABDC是梯形或平行四边形。由＝，得EF∥BD。又BD⊂β，所以EF∥β。热点题型三平行关系中的探索性问题例3．如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点。(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值。解析：(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1。连接A1B，交AB1于点O，连接OD1。由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点。在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1。又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1。所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1。(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，所以＝，又由题可知＝，＝1，所以＝1，即＝1。【提分秘籍】与平行有关的探索性问题求解策略平行关系中的探索性问题，一般是先根据条件猜测点的位置再进行证明，多为中点或三等分点问题。【举一反三】如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE＝a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD。又在△BCE中，CE＝＝＝a。在Rt△PBC中，BC2＝CE·CP，∴CP＝＝a。又 ＝＝，∴EG＝AF＝a。∴点F为AB的一个三等分点。1.【2017课标II，理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点。（1）证明：直线平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余...
