三角函数的图象与性质（二）1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(C)A.B.C．πD．2π(方法一：直接法)由已知得f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，又f(x)＝＝＝＝sinxcosx＝sin2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.(方法二：验证法)因为f(x＋π)＝f(x)，所以π是f(x)的周期；f(x＋)＝＝－≠f(x)，所以不是f(x)的周期．故选C.2．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos(2x＋)，④y＝tan(2x－)中，最小正周期为π的所有函数为(A)A．①②③B．①③④C．②③D．①③①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；③y＝cos(2x＋)的最小正周期T＝＝π；④y＝tan(2x－)的最小正周期T＝.因此最小正周期为π的函数为①②③.3．已知函数y＝tanωx在(－，)内是减函数，则(B)A．0＜ω≤1B．－1≤ω＜0C．ω≥1D．ω≤－1(方法一：直接法)由y＝tanx在(－，)内是增函数知ω<0，且T＝≥π，即－1≤ω<0，选B.(方法二：特值法)取ω＝－1满足题意，排除A，C；又取ω＝－2，不满足题意，排除D，故选B.4．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在[0，]上是减函数的θ的一个值可以是(D)A．－B.C.D.f(x)＝2sin(2x＋θ＋)，因为f(x)是奇函数，所以θ＋＝kπ，即θ＝kπ－，k∈Z，排除B，C.若θ＝－，则f(x)＝2sin2x在[0，]上递增，排除A.故选D.5．函数f(x)＝tan(x＋)的单调递增区间是(kπ－，kπ＋)(k∈Z).由kπ－0，|φ|<.(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．(1)由coscosφ－sinsinφ＝0，得coscosφ－sinsinφ＝0，即cos(＋φ)＝0.又|φ|<，所以φ＝.(2)由(1)得f(x)＝sin(ωx＋)．依题意＝，又T＝，故ω＝3，所以f(x)＝sin(3x＋)．函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)＋]．g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(k∈Z)，即m＝＋(k∈Z)．从而，最小正实数m＝.
