高考数学复习点拨 利用一道课本习题结论求直线方程VIP免费

利用一道课本习题结论求直线方程课本中习题3.3A组第4题：“已知直线11110lAxByC：与22220lAxByC：相交，证明方程111222()0()AxByCAxByCR表示过1l与2l交点的直线系方程（当0时，表示直线1l）．我们常用这个结论来求过两直线的交点的轨迹方程．例1求过两直线240xy和20xy的交点，且满足下列条件的直线l的方程．（1）过点(21)，；（2）和直线3450xy垂直．解析：（1）设过两直线交点的直线系方程为24(2)0xyxy，将点(21)，代入方程，得224(212)0x，4．所以，满足条件的直线方程为240xy．（2）将（1）中所设的方程变化(1)(2)(42)0xy，解得12k．由已知13124，解得11，故所求直线的方程是4360xy．本题先用直线系方程表示所求直线方程，然后再列式，求出方程的待定系数，从而最终求得问题的解，这种方法称之为待定系数法．在已知函数或曲线方程的类型的问题中，我们可以利用待定系数法来求解．例2已知ABC△的三边所在直线的方程分别为5628510ABxy：，2320BCxy：，2884970CAxy：，求BC边上的高AH所在的直线方程．解析：按常规方法我们可以先解直线AB与CA所组成的方程组，得A点坐标，然后再求高线AH的方程．但为了更加方便的求解，我们可以先列出过交点A的中心直线系方程．562851(288497)0xyxy（为参数），即(5628)(2884)5970xy．再利用AHBC，且23BCk．得5628328842，解得1．所以直线AH的方程为4228230xy．尽管直线系111222()0()AxByCAxByCR所表示的直线无限多，但这个直线系不包括直线2220AxByC．对于是一点如不加以注意易导致解题错误．例3求经过直线3420xy与直线23100xy的交点，且垂直于直线6470xy的直线方程．错解：两直线显然相交．可设所求直线方程为342(2310)0xyxy．化简得(32)(43)1020xy．用心爱心专心解得3243k．由已知3261434，得9668．此方程无解，从而所求直线不存在．剖析：所设直线方程342(2310)0xyxy不包含直线23100xy，而实际上直线23100xy，而实际上直线23100xy垂直于直线6470xy，符合题意，所以它正是所求的直线．因此所求直线方程23100xy．例4求经过直线110lxy：和2220lxy：的交点，且与原点的距离为255的直线方程．错解：两直线显然相交．可设所求直线方程为1(22)0xyxy，即(12)(1)210xy．原点到这条直线的距离为255，由点到直线距离公式，得2221255(12)(1)，解得14．将的值代入(12)(1)210xy，得所求直线的方程为220xy．剖析：上述解答漏掉一解．我们应当验证2220lxy：是否符合要求．事实上，原点到直线2220lxy：的距离也是255．因此所求直线方程为220xy和220xt．在使用过两直线交点的直线系方程111222()0AxByCAxByC解题时，一定要注意验证2220AxByC是否满足题意，否则易导致漏解．用心爱心专心