数列问题感悟体验·快易通1.已知在正项等比数列{an}中,a1与a3分别是方程x2-5x+4=0的两根.(1)求数列{an}的通项公式.(2)若数列{bn}是递增数列,其前n项和为Sn,且bn=log2an+1,求数列的前n项和Tn.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,依题意得或若因为an>0,则q=2,所以an=1×2n-1=2n-1;若因为an>0,则q=,所以an=4×=23-n.(2)因为数列{bn}是递增数列,bn=log2an+1,所以由(1)知an=2n-1,bn=log2an+1=log22n-1=n-1+1=n,所以{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以Sn==.所以==2,所以Tn=2=2=.2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn+1-2Sn=1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式.(2)若数列{bn}满足bn=n+,求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)由Sn+1-2Sn=1(n∈N*)得Sn-2Sn-1=1(n≥2,n∈N*),两式相减得an+1=2an(n≥2,n∈N*).又S2-2S1=1,a1=1,所以a1+a2-2a1=1,得a2=2,则a2=2a1,所以数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1.(2)由(1)知bn=n+,所以Tn=1+2+…+n+1+++…+=+1+++…+,令An=1+++…+①,则An=+++…++②,①-②得An=1+++…+-=2-=2-,所以An=4-.所以Tn=+4-.
