专题51不等式选讲1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）.（2）.（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：.2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.（1）柯西不等式的向量形式：（2）.（3）.（此不等式通常称为平面三角不等式.）3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：4．会用向量递归方法讨论排序不等式.5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|
a的解集不等式a>0a=0a<0|x|a{x|x>a或x<-a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.(3)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.2.绝对值三角不等式(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.(3)推论1:||a|-|b||≤|a+b|.(4)推论2:||a|-|b||≤|a-b|.【技能方法】（一）含绝对值不等式的解法方法解读适合题型1公式法利用公式|x|0)和|x|>a⇔x>a或x<-a(a>0)直接求解不等式|f(x)|>g(x)或|f(x)|a恒成立⇔f(x)min>a.二、不等式的证明1.基本不等式(1)基本不等式:如果a,b>0,那么,当且仅当a=b时,等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.(2)算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.2.柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(2)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k使α=kβ时,等号成立.(3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么.(4)一般形式的柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是实数,则(+…+)(+…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当ai=0或bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.3.证明不等式的基本方法(1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法和放缩法;(5)数学归纳法.考向一绝对值不等式的求解解绝对值不等式的常用方法有：（1）基本性质法：对.（2）平方法：两边平方去掉绝对值符号.（3）零点分区间法（或叫定义法）：含有两个或两...
