【优化探究】2017届高考数学一轮复习第六章第四节基本不等式课时作业理新人教A版A组考点能力演练1．(2016·汉中一模)“a≥0，b≥0”是“≥”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由a≥0，b≥0可得≥，当且仅当a＝b时取等号．反之，若≥，则ab≥0，可得a≥0，b≥0，故选C.答案：C2．(2016·杭州一模)设a>0，b>0.若a＋b＝1，则＋的最小值是()A．2B.C．4D．8解析：由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以最小值为4.答案：C3．若a>0，b>0且a＋b＝7，则＋的最小值为()A.B．1C.D.解析：本题考查利用基本不等式求最值．因为b＝7－a，所以＋＝＋＝(a＋9－a)·＝≥(4＋1＋4)＝1，当且仅当＝时取得等号，故选B.答案：B4．设x，y∈R，a>1，b>1.若ax＝by＝2，a2＋b＝4，则＋的最大值为()A．1B．2C．3D．4解析：由ax＝by＝2得x＝loga2＝，y＝logb2＝，＋＝2log2a＋log2b＝log2(a2·b)≤log22＝2(当且仅当a2＝b＝2时取等号)．答案：B5．若直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过曲线y＝1＋sinπx(0
0，b>0，由条件得a2＋b2＝2(a＋b)，∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，当且仅当a＝b时取等号，∴(a＋b)2≤4(a＋b)，∴a＋b≤4，又(a＋b)2－2(a＋b)＝2ab>0.∴a＋b>2，∴20且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋－4＝0(m>0，n>0)上，则m＋n的最小值为________．解析：由题意可知函数y＝logax＋1的图象恒过定点A(1,1)，∵点A在直线＋－4＝0上，∴＋＝4，∵m>0，n>0，∴m＋n＝(m＋n)＝≥＝1，当且仅当m＝n＝时等号成立，∴m＋n的最小值为1.答案：19．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8.证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，所以－1＝＝>，①－1＝＝>，②－1＝＝>，③又x，y，z为正数，由①×②×③，得>8.10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解：(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4000，得a＝.则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋20)·＋160＝80＋4160(x>1)．(2)80＋4160≥80×2＋4160＝1600＋4160＝5760，当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．B组高考题型专练1．(2015·高考湖南卷)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为()A.B．2C．2D．4解析：由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2.答案：C2．(2014·高考重庆卷)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是()A．6＋2B．7＋2C．6＋4D．7＋4解析：由log4(3a＋4b)＝log2，得log2(3a＋4b)＝log2(ab)，所以3a＋4b＝ab，即＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)＝＋＋7≥4＋7，当且仅当＝，即a＝2＋4，b＝3＋2时取等号，故选D.答案：D3．(2015·高考陕西卷)设f(x)＝lnx,0pD．p＝r>p解析：∵0，又f(x)＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，故f()p，∵r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝ln＝f()＝p，∴p＝r0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．解析：因为x>0，y>0，所以x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝＝≥，当且仅当＝，即x＝y时取等号．故x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为.答案：
