第3讲圆锥曲线中的热点问题A级基础通关一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ改编)椭圆C：＋＝1的焦点在x轴上，点A，B是长轴的两端点，若曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°，则实数m的取值范围是()A．(3，＋∞)B．[1，3)C．(0，)D．(0，1]解析：依题意，当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要在曲线C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan60°，即≥，解得0＜m≤1.答案：D2．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin40°B．2cos40°C.D.解析：由题意可得－＝tan130°，所以e＝＝＝＝＝.答案：D3．若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2B.C.D.解析：根据题意，抛物线y＝2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|＝d，抛物线的方程为y＝2x2，即x2＝y，其准线方程为y＝－，所以当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|min＝.答案：D4．(2019·天津卷)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.B.C．2D.解析：由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1，所以|OF|＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，不妨设点A，B，所以|AB|＝＝4|OF|＝4，所以＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2.又因为c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝＝.答案：D5．(2019·安徽六安一中模拟)点P在椭圆C1：＋＝1上，C1的右焦点为F2，点Q在圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋21＝0上，则|PQ|－|PF2|的最小值为()A．4－4B．4－4C．6－2D．2－6解析：设椭圆的左焦点为F1(－1，0)．则|PQ|－|PF2|＝|PQ|－(2a－|PF1|)＝|PQ|＋|PF1|－4，故要求|PQ|－|PF2|的最小值．即求|PQ|＋|PF1|的最小值．又圆C2的半径r＝2，圆心C2(－3，4)，所以(|PQ|＋|PF1|)min＝|C2F1|－r＝－2＝2－2.故|PQ|－|PF2|的最小值为2－6.答案：D1二、填空题6．已知点(1，2)是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：由已知得－＝1，所以＝b2＋4，则e2＝＝1＋＝5＋b2，故e＞.答案：(，＋∞)7．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．解析：不妨设A(x1，y1)(y1＞0)，B(x2，y2)(y2＜0)．则|AC|＋|BD|＝x2＋y1＝＋y1.又y1y2＝－p2＝－4，所以|AC|＋|BD|＝－(y2＜0)．设g(x)＝－，g′(x)＝，令g′(x)＜0，得x＜－2，令g′(x)＞0，得－2＜x＜0.所以g(x)在(－∞，－2)上递减，在(－2，0)上递增．所以当x＝－2，即y2＝－2时，|AC|＋|BD|取最小值为3.答案：38．(2019·浙江卷)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．解析：如图，左焦点F(－2，0)，右焦点F′(2，0)．线段PF的中点M在以O(0，0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM＝2.在△FF′P中，OMPF′，所以PF′＝4.根据椭圆的定义，得PF＋PF′＝6，所以PF＝2.又因为FF′＝4，所以在Rt△MFF′中，tan∠PFF′＝＝＝，故直线PF的斜率是.2答案：三、解答题9．已知曲线C：y2＝4x，曲线M：(x－1)2＋y2＝4(x≥1)，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若OA·OB＝－4，求证：直线l恒过定点；(2)若直线l与曲线M相切，求PA·PB(点P坐标为(1，0))的最大值．(1)证明：设l：x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得y2－4my－4n＝0.所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n.所以x1＋x2＝4m2＋2n，x1x2＝n2.由OA·OB＝－4，得x1x2＋y1y2＝n2－4n＝－4，解得n＝2.所以直线l方程为x＝my＋2，所以直线l恒过定点(2，0)．(2)解：因为直线l与曲线M：(x－1)2＋y2＝4(x≥1)相切，所以＝2，且n≥3，整理得4m2＝n2－2n－3(n≥3)．①又点P坐标为(1，0)，所以由已知及①，得PA·PB＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝n2－4m2－2n＋1－4n＝n2－4m2－6n＋1＝4－4n.又y＝4－4n(n≥3)是减函数，所以当n＝3时，y＝4－4n取得最大值－8.故PA·PB的最大值为－8.10．(2019·惠州调研)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)...
